"숫자 12와 24"의 두 판 사이의 차이

2011년 6월 28일 (화) 15:18 판

모든 자연수의 합과 리만제타함수
\(\zeta(-1)= -\frac{1}{12}\)
\(\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots = -\frac{1}{12}\)
12 = cusp form이 가질수 있는 가장 작은 weight
\(\Delta(\tau)= q\prod_{n>0}(1-q^n)^{24}= q-24q+252q^2 \cdots\)
는 weight 12 cusp form
판별식 (discriminant) 함수와 라마누잔의 타우 함수(tau function)
\(\operatorname{SL}(2,\mathbb{Z})_{ab}=C_{12}\)
오비폴드 오일러 표수
\(\chi(SL(2,\mathbb{Z}))=-\frac{1}{12}\)
라마누잔과 1729
\(1729=12^3+1^3=10^3+9^3\)

스털링 공식
\( n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right)\)

아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)
\(E_{2}(\tau) = 1-24\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{1}(n)q^{n}\)
리치(Leech)격자의 차원
돌발성 단순군 M24
If we take a double cover Mp2(Z) of SL2(Z), we have (Mp2(Z))ab = Z/24.
오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
\(\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{(2\pi)^2}{24}\)
분할수의 생성함수(오일러 함수)
\(z=q\),\(q=e^{-\epsilon}\) 으로 두면 \(\epsilon\sim 0\) 일 때, \(1-q\sim \epsilon\)
\(\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})\)
\(\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12\epsilon}+\frac{\epsilon}{24})\)
26=24+2는 보존 끈이론의 차원
- 24는 transverse dimensions
- http://www.physicsforums.com/showthread.php?p=2910595#post2910595

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 * [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]<br><math>\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{(2\pi)^2}{24}</math><br>
 * [[분할수의 생성함수(오일러 함수)]]<br><math>z=q</math>,<math>q=e^{-\epsilon}</math> 으로 두면 <math>\epsilon\sim 0</math> 일 때, <math>1-q\sim \epsilon</math><br><math>\prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-q^n} \sim \exp(\frac{\pi^2}{6\epsilon})=\exp(\frac{(2\pi)^2}{24\epsilon})</math><br><math>\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12\epsilon}+\frac{\epsilon}{24})</math><br>
+*  26=24+2는 보존 끈이론의 차원<br>
-* 26=24+2 는 보존 끈이론의 차원 http://www.physicsforums.com/showthread.php?p=2910595#post2910595
+**  24는 transverse dimensions
-*
+** http://www.physicsforums.com/showthread.php?p=2910595#post2910595
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 * [[라마누잔(1887- 1920)|라마누잔의 수학]]
 * [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|j-invariant]]
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