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*  다음을 이용<br><math>\sum_{r=0}^{n}\frac{(1-aq^{2r})(-1)^{r}q^{\frac{1}{2}(r^2+r)}(a)_{r}(c)_{r}(d)_{r}a^{r}}{(a)_{n+r+1}(q)_{n-r}(q)_{r}(aq/c)_{r}(aq/d)_{r}c^{r}d^{r}}=\frac{(aq/cd)_{n}}{(q)_{n}(aq/c)_{n}(aq/d)_{n}}</math><br>
 
*  다음을 이용<br><math>\sum_{r=0}^{n}\frac{(1-aq^{2r})(-1)^{r}q^{\frac{1}{2}(r^2+r)}(a)_{r}(c)_{r}(d)_{r}a^{r}}{(a)_{n+r+1}(q)_{n-r}(q)_{r}(aq/c)_{r}(aq/d)_{r}c^{r}d^{r}}=\frac{(aq/cd)_{n}}{(q)_{n}(aq/c)_{n}(aq/d)_{n}}</math><br>
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*  다음의 특수한 경우<br><math>a=q,c=-q,d=\infty</math><br>
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*   <br> 다음의 특수한 경우<br><math>a=q,c\to\infty,d\to\infty</math><br>
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*   <br> 얻어진 베일리 쌍 (relative to 1)<br><math>\alpha_{0}=1</math>, <math>\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{1}{2}n}+q^{-\frac{1}{2}n})</math><br><math>\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}</math><br><math>\beta_n=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(x)_{n-r}(q)_{n+r}}=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(q^{2})_{n-r}(q)_{n+r}}=\frac{1}{(q)_{n}(-q)_{n}}</math><br>
+
*   <br> 얻어진 베일리 쌍 (relative to 1)<br><math>\alpha_{0}=1</math>, <math>\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{3}{2}n}+q^{-\frac{3}{2}n})</math><br><math>\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}</math><br><math>\beta_n=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(x)_{n-r}(q)_{n+r}}=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(q)_{n-r}(q)_{n+r}}=\frac{q^n}{(q)_{n}}</math> <br>
  
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">베일리 쌍</h5>
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* 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍<br><math>\delta_n=q^{n^2}</math><br><math>\gamma_n=\frac{q^{n^2}}{(q)_{\infty}}</math><br><math>\alpha_{0}=1</math>, <math>\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{3}{2}n}+q^{-\frac{3}{2}n})</math><br><math>\beta_n=\frac{q^n}{(q)_{n}}</math><br>
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* <math>\alpha_{0}=1</math>, <math>\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{3}{2}n}+q^{-\frac{3}{2}n})</math><br><math>\beta_n=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(x)_{n-r}(q)_{n+r}}=\frac{q^n}{(q)_{n}}</math><br>
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">q-series 항등식</h5>
−
*  B(3)<br><math>\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}</math>,  <math>\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}</math><br> Take <math>x=q^2,y\to\infty, z\to\infty</math>.<br><math>\alpha_{0}=1</math>, <math>\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2+\frac{1}{2}n}\frac{(1-q^{2n +1})}{(1-q)}</math><br><math>\beta_n=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(x)_{n-r}(q)_{n+r}}</math><br>
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*  항등식<br><math>\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})</math><br>
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* [[베일리 쌍(Bailey pair)과 베일리 보조정리]]<br><math>\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}</math><br><math>\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{\frac{n(n+1)}{2}}}{(q)_{n}}</math><br><math>\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\frac{(-q)_{\infty}}{(q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(q^{\frac{3n^2+n}{2}}-q^{\frac{3n^2+5n+2}{2}})=(-q)_{\infty}</math><br>
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

2011년 11월 15일 (화) 09:44 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 로저스-라마누잔 항등식 의 하나
    \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)}}{ (q)_{n}}=\frac{(q^{1};q^{5})_{\infty}(q^{4};q^{5})_{\infty}(q^{5};q^{5})_{\infty}}{(q)_{\infty}}=\frac{1}{(q^{2};q^{5})_{\infty}(q^{3};q^{5})_{\infty}}\)

 

 

항등식의 분류

 

 

켤레 베일리 쌍의 유도
  • q-가우스 합 에서 얻어진 다음 결과를 이용
    \(\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\),  \(\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\)
    \(\gamma_{n}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{r+2n}(q)_{r}}\)
  • 다음의 특수한 경우
     \(x=q,y\to\infty, z\to\infty\).
  •  
    얻어진 켤레 베일리 쌍 (relative to 1)
    \(\delta_n=q^{n^2}\)
    \(\gamma_n=\frac{q^{n^2}}{(q)_{\infty}}\)

 

 

베일리 쌍의 유도
  • 다음을 이용
    \(\sum_{r=0}^{n}\frac{(1-aq^{2r})(-1)^{r}q^{\frac{1}{2}(r^2+r)}(a)_{r}(c)_{r}(d)_{r}a^{r}}{(a)_{n+r+1}(q)_{n-r}(q)_{r}(aq/c)_{r}(aq/d)_{r}c^{r}d^{r}}=\frac{(aq/cd)_{n}}{(q)_{n}(aq/c)_{n}(aq/d)_{n}}\)
  •  
    다음의 특수한 경우
    \(a=q,c\to\infty,d\to\infty\)
  •  
    얻어진 베일리 쌍 (relative to 1)
    \(\alpha_{0}=1\), \(\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{3}{2}n}+q^{-\frac{3}{2}n})\)
    \(\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}\)
    \(\beta_n=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(x)_{n-r}(q)_{n+r}}=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(q)_{n-r}(q)_{n+r}}=\frac{q^n}{(q)_{n}}\) 

 

 

 

베일리 쌍
  • 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍
    \(\delta_n=q^{n^2}\)
    \(\gamma_n=\frac{q^{n^2}}{(q)_{\infty}}\)
    \(\alpha_{0}=1\), \(\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{3}{2}n}+q^{-\frac{3}{2}n})\)
    \(\beta_n=\frac{q^n}{(q)_{n}}\)

 

 

q-series 항등식
  • 항등식
    \(\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})\)
  • 베일리 쌍(Bailey pair)과 베일리 보조정리
    \(\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}\)
    \(\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{\frac{n(n+1)}{2}}}{(q)_{n}}\)
    \(\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\frac{(-q)_{\infty}}{(q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(q^{\frac{3n^2+n}{2}}-q^{\frac{3n^2+5n+2}{2}})=(-q)_{\infty}\)
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