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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 수학노트 원문주소== |
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| − | ==개요 | + | ==개요== |
* 항등식<br><math>\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})</math><br> | * 항등식<br><math>\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})</math><br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">켤레 베일리 쌍의 유도 | + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">켤레 베일리 쌍의 유도== |
* [[q-가우스 합]] 에서 얻어진 다음 결과를 이용<br><math>\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}</math>, <math>\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}</math><br><math>\gamma_{n}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{r+2n}(q)_{r}}</math><br> | * [[q-가우스 합]] 에서 얻어진 다음 결과를 이용<br><math>\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}</math>, <math>\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}</math><br><math>\gamma_{n}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{r+2n}(q)_{r}}</math><br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">베일리 쌍의 유도 | + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">베일리 쌍의 유도== |
* Use the following '''[Slater51] '''(4.1)<br><math>\sum_{r=0}^{n}\frac{(1-aq^{2r})(-1)^{r}q^{\frac{1}{2}(r^2+r)}(a)_{r}(c)_{r}(d)_{r}a^{r}}{(a)_{n+r+1}(q)_{n-r}(q)_{r}(aq/c)_{r}(aq/d)_{r}c^{r}d^{r}}=\frac{(aq/cd)_{n}}{(q)_{n}(aq/c)_{n}(aq/d)_{n}}</math><br> | * Use the following '''[Slater51] '''(4.1)<br><math>\sum_{r=0}^{n}\frac{(1-aq^{2r})(-1)^{r}q^{\frac{1}{2}(r^2+r)}(a)_{r}(c)_{r}(d)_{r}a^{r}}{(a)_{n+r+1}(q)_{n-r}(q)_{r}(aq/c)_{r}(aq/d)_{r}c^{r}d^{r}}=\frac{(aq/cd)_{n}}{(q)_{n}(aq/c)_{n}(aq/d)_{n}}</math><br> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">베일리 쌍 | + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">베일리 쌍== |
<math>\delta_n=(-q)_{n}q^{\frac{n(n+1)}{2}}</math> | <math>\delta_n=(-q)_{n}q^{\frac{n(n+1)}{2}}</math> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">q-series 항등식 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">q-series 항등식== |
<math>\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})</math> | <math>\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})</math> | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">베테 타입 방정식 (cyclotomic equation) | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">베테 타입 방정식 (cyclotomic equation)== |
Let <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n(an+b)/2}}{ | Let <math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n(an+b)/2}}{ | ||
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| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">다이로그 항등식 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">다이로그 항등식== |
<math>L(\frac{1}{2})=\frac{1}{12}\pi^2</math> | <math>L(\frac{1}{2})=\frac{1}{12}\pi^2</math> | ||
2012년 11월 1일 (목) 13:53 판
이 항목의 수학노트 원문주소==
개요
- 항등식
\(\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})\)
- 베버(Weber) 모듈라 함수 의 하나
\(\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sqrt{2}q^{1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\)
항등식의 분류
켤레 베일리 쌍의 유도==
- q-가우스 합 에서 얻어진 다음 결과를 이용
\(\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\), \(\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\)
\(\gamma_{n}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{r+2n}(q)_{r}}\)
- 위의 결과에 다음을 이용
\(x=q^2, y=-q, z\to\infty\).
- 켤레 베일리 쌍
\(\delta_n=(-q)_{n}q^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
\(\gamma_n=\frac{(-q)_{\infty}}{(q^2)_{\infty}}q^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
베일리 쌍의 유도==
- Use the following [Slater51] (4.1)
\(\sum_{r=0}^{n}\frac{(1-aq^{2r})(-1)^{r}q^{\frac{1}{2}(r^2+r)}(a)_{r}(c)_{r}(d)_{r}a^{r}}{(a)_{n+r+1}(q)_{n-r}(q)_{r}(aq/c)_{r}(aq/d)_{r}c^{r}d^{r}}=\frac{(aq/cd)_{n}}{(q)_{n}(aq/c)_{n}(aq/d)_{n}}\)
- Specialize
\(a=q,c=-q,d=\infty\)
- Bailey pair
\(\alpha_{0}=1\), \(\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{n^2}(1-q^{2n+1})/(1-q)\)
\(\beta_n=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(x)_{n-r}(q)_{n+r}}=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(q^{2})_{n-r}(q)_{n+r}}=\frac{1}{(q)_{n}(-q)_{n}}\)
베일리 쌍==
\(\delta_n=(-q)_{n}q^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
\(\gamma_n=\frac{(-q)_{\infty}}{(q^2)_{\infty}}q^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
\(\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{n^2}(1-q^{2n+1})/(1-q)\)
\(\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}(-q)_{n}}\)
q-series 항등식==
\(\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})\)
- 베일리 쌍(Bailey pair)과 베일리 보조정리
\(\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}\)
\(\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{\frac{n(n+1)}{2}}}{(q)_{n}}\)
\(\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\frac{(-q)_{\infty}}{(q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(q^{\frac{3n^2+n}{2}}-q^{\frac{3n^2+5n+2}{2}})=(-q)_{\infty}\) (오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem) 가 사용됨)
베테 타입 방정식 (cyclotomic equation)==
Let \(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n(an+b)/2}}{
\prod_{j=1}^{r}(q^{c_j};q^{d_j})_n^{e_j}}=\sum_{N=0}^{\infty} a_N q^{N}\).
Then \(\prod_{j=1}^{r}(1-x^{d_j})^{e_j}=x^a\) has a unique root \(0<\mu<1\). We get
\(\log^2 a_N \sim 4N\sum_{j=1}^{r}\frac{e_j}{d_j}L(1-\mu^{d_j})\)
a=1,d=1,e=1
The equation becomes \(1-x=x\).
\(4L(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}(\frac{2}{3}\pi^2)=\frac{1}{3}\pi^2\)
다이로그 항등식==
\(L(\frac{1}{2})=\frac{1}{12}\pi^2\)
\(\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})\)
\(\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})=\sqrt{2}q^{1/24}\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)}\)
- q-가우스 합 에서 얻어진 다음 결과를 이용
\(\delta_n=\frac{(y)_n(z)_n x^n}{y^n z^n}\), \(\gamma_n=\frac{(x/y;q)_{\infty}(x/z;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}(x/yz;q)_{\infty}}}\frac{(y)_n(z)_n x^n}{(x/y)_{n}(x/z)_{n}y^n z^n}\)
\(\gamma_{n}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{n+r}}{(x)_{r+2n}(q)_{r}}\) - 위의 결과에 다음을 이용
\(x=q^2, y=-q, z\to\infty\). - 켤레 베일리 쌍
\(\delta_n=(-q)_{n}q^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
\(\gamma_n=\frac{(-q)_{\infty}}{(q^2)_{\infty}}q^{\frac{n(n+1)}{2}}\)
- Use the following [Slater51] (4.1)
\(\sum_{r=0}^{n}\frac{(1-aq^{2r})(-1)^{r}q^{\frac{1}{2}(r^2+r)}(a)_{r}(c)_{r}(d)_{r}a^{r}}{(a)_{n+r+1}(q)_{n-r}(q)_{r}(aq/c)_{r}(aq/d)_{r}c^{r}d^{r}}=\frac{(aq/cd)_{n}}{(q)_{n}(aq/c)_{n}(aq/d)_{n}}\) - Specialize
\(a=q,c=-q,d=\infty\) - Bailey pair
\(\alpha_{0}=1\), \(\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{n^2}(1-q^{2n+1})/(1-q)\)
\(\beta_n=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(x)_{n-r}(q)_{n+r}}=\sum_{r=0}^{n}\frac{\alpha_r}{(q^{2})_{n-r}(q)_{n+r}}=\frac{1}{(q)_{n}(-q)_{n}}\)
- 베일리 쌍(Bailey pair)과 베일리 보조정리
\(\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}\)
\(\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{\frac{n(n+1)}{2}}}{(q)_{n}}\)
\(\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\frac{(-q)_{\infty}}{(q)_{\infty}}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}(q^{\frac{3n^2+n}{2}}-q^{\frac{3n^2+5n+2}{2}})=(-q)_{\infty}\) (오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem) 가 사용됨)