"아이젠슈타인 급수(Eisenstein series)"의 두 판 사이의 차이

2009년 7월 3일 (금) 12:37 판

\(k>1\)인 정수에 대하여, weight 2k의 아이젠슈타인급수는 다음과 같이 정의됨.
\(G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}\)
만약 이 정의에서 반드시 짝수가 아닌 정수 \(k>1\)에 대해 \(G_k\)를 같은 방식으로 정의했다면, k가 홀수인 경우는 \(G_k=0\)가 됨.
\(m+n\tau\)와 \(-m-n\tau\) 가 서로 상쇄

모듈라 성질
\(G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau)\)

모듈라 형식이 되기 위해서는 cusp에서의 growth 조건 즉, \(\tau=i\infty\)에서의 푸리에 전개가 필요하며 이는 다음과 같이 주어짐
\(G_{2k}(\tau) = 2\zeta(2k) \left(1+c_{2k}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)\)
\(c_{2k} = \frac{(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)! \zeta(2k)} = \frac {-4k}{B_{2k}} = \frac {2}{\zeta(1-2k)}\), \(\sigma_r(n)=\sum_{d|n}d^r\)

\(G_4(\tau)=\frac{\pi^4}{45} \left[ 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n} \right]\)

\(G_6(\tau)=\frac{2\pi^6}{945} \left[ 1- 504\sum_{n=1}^\infty \sigma_5(n) q^{n} \right]\)

\(G_{4}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{4}}\) 인 경우

\( \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{4}}=\sum_{m\neq0} \frac{1}{m^4} +\sum \frac{1}{(m+n\tau )^{4}}\)

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+<h5 style="line-height: 2em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px;">푸리에 전개의 유도</h5>
+<math>G_{4}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{4}}</math> 인 경우
+<math> \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{4}}=\sum_{m\neq0} \frac{1}{m^4} +\sum \frac{1}{(m+n\tau )^{4}}</math>
+<math> \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{4}}=\sum_{m\neq0} \frac{1}{m^4} +\sum \frac{1}{(m+n\tau )^{4}}</math>
+<br>
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 * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%95%84%EC%9D%B4%EC%A0%A0%EC%8A%88%ED%83%80%EC%9D%B8 http://ko.wikipedia.org/wiki/아이젠슈타인]
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Eisenstein_series
-* http://www.wolframalpha.com/input/?i=Eisenstein_series
+* http://www18.wolframalpha.com/input/?i=Eisenstein+series
 * http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
 * http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=