"약수의 합과 오일러 토션트"의 두 판 사이의 차이

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가령 k=3 인 경우
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가령 k=3 인 경우, <math>\alpha_i\geq 1</math> 이므로,
  
<math>\frac{\sigma(n)+\varphi(n)}{n}=\frac{\left(p_1^{\alpha _1+1}-1\right) p_2^{-\alpha _2} \left(p_2^{\alpha _2+1}-1\right) p_3^{-\alpha _3} \left(p_3^{\alpha _3+1}-1\right) p_1^{-\alpha _1}}{\left(p_1-1\right) \left(p_2-1\right) \left(p_3-1\right)}+\frac{\left(p_1-1\right) \left(p_2-1\right) \left(p_3-1\right)}{p_2 p_3 p_1}</math>
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<math>\frac{\sigma(n)+\varphi(n)}{n}=\frac{p_1^{-\alpha _1}\left(p_1^{\alpha _1+1}-1\right) p_2^{-\alpha _2} \left(p_2^{\alpha _2+1}-1\right) p_3^{-\alpha _3} \left(p_3^{\alpha _3+1}-1\right) }{\left(p_1-1\right) \left(p_2-1\right) \left(p_3-1\right)}+\frac{\left(p_1-1\right) \left(p_2-1\right) \left(p_3-1\right)}{ p_1p_2 p_3}</math>
  
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<math>\geq \frac{p_1 p_2 p_3}{\left(p_1-1\right) \left(p_2-1\right)\left(p_3-1\right)}\left(1-\frac{1}{p_1{}^2}\right)\left(1-\frac{1}{p_2{}^2}\right)\left(1-\frac{1}{p_3{}^2}\right)+\frac{\left(p_1-1\right) \left(p_2-1\right)\left(p_3-1\right)}{p_1 p_2 p_3}</math>
  
 
 
 
 
  
다음과 같은 부등식을 이용할 수 있다.
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여기서 다음과 같은 부등식을 이용할 수 있다.
  
 
<math>x_n,y_n>0</math> 이고, <math>k\geq 2</math> 인 자연수일 때,
 
<math>x_n,y_n>0</math> 이고, <math>k\geq 2</math> 인 자연수일 때,
  
 
<math>\prod _{n=1}^k \left(x_n-y_n\right)+\prod _{n=1}^k \left(x_n+y_n\right)>2\prod _{n=1}^k x_n</math>
 
<math>\prod _{n=1}^k \left(x_n-y_n\right)+\prod _{n=1}^k \left(x_n+y_n\right)>2\prod _{n=1}^k x_n</math>
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<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
 
<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
  
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxQ2JXeGZTY0tNaHc/edit
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://functions.wolfram.com/
 
* http://functions.wolfram.com/

2012년 8월 26일 (일) 04:25 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

기호
  • 자연수의 약수의 합
  • 자연수 \(n\)에 대하여, 1부터 n까지의 양의 정수 중에 \(n\)의 약수인 수의 합을 \(\sigma(n)\) 으로 나타냄
    \(\sigma(n)=\sum_{d|n}d\)
  • 오일러의 totient 함수
  • 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수의 개수를 \(\varphi(n)\)  으로 둠

 

 

문제
  • \(\sigma(n)+\varphi(n)=2n\)  <=> n이 소수이다

 

 

풀이
  • \(n=p_1 ^{\alpha _1} p_2 ^{\alpha _2} ... p_k ^{\alpha _k}\) 인 경우
  • \(\varphi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1} p_2 ^{\alpha _2 - 1} ... p_k ^{\alpha _k - 1} (p_1 - 1)(p_2 - 1) .. (p_k - 1) \)
  • \(\sigma(n) = \frac{p_{1}^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\cdots \frac{p_{k}^{\alpha_2+1}-1}{p_k-1}\)

 

n 을 나누는 소수가 하나인 경우, 즉 k=1 인 경우

\(n=p_1 ^{\alpha _1}\)

\(\varphi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1}(p_1 - 1)\)

\(\sigma(n) = \frac{p_{1}^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\)

\(\frac{\sigma(n)+\varphi(n)}{n}=\frac{2(1-p_1)}{1-p_1}+\frac{-p_1^{-1}+p_1^{-\alpha_1}}{1-p_1}}\) 이므로, \(\frac{\sigma(n)+\varphi(n)}{n}=2\) 이려면 \(\alpha_1=1\) 일 수밖에 없다.

 

이제 n을 나누는 소수가 둘 이상인 경우, 즉 \(k\geq 2\) 라 가정하자.

 

가령 k=3 인 경우, \(\alpha_i\geq 1\) 이므로,

\(\frac{\sigma(n)+\varphi(n)}{n}=\frac{p_1^{-\alpha _1}\left(p_1^{\alpha _1+1}-1\right) p_2^{-\alpha _2} \left(p_2^{\alpha _2+1}-1\right) p_3^{-\alpha _3} \left(p_3^{\alpha _3+1}-1\right) }{\left(p_1-1\right) \left(p_2-1\right) \left(p_3-1\right)}+\frac{\left(p_1-1\right) \left(p_2-1\right) \left(p_3-1\right)}{ p_1p_2 p_3}\)

\(\geq \frac{p_1 p_2 p_3}{\left(p_1-1\right) \left(p_2-1\right)\left(p_3-1\right)}\left(1-\frac{1}{p_1{}^2}\right)\left(1-\frac{1}{p_2{}^2}\right)\left(1-\frac{1}{p_3{}^2}\right)+\frac{\left(p_1-1\right) \left(p_2-1\right)\left(p_3-1\right)}{p_1 p_2 p_3}\)

 

여기서 다음과 같은 부등식을 이용할 수 있다.

\(x_n,y_n>0\) 이고, \(k\geq 2\) 인 자연수일 때,

\(\prod _{n=1}^k \left(x_n-y_n\right)+\prod _{n=1}^k \left(x_n+y_n\right)>2\prod _{n=1}^k x_n\)

 

 

 

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