양의 정부호 행렬(positive definite matrix)

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• 양의 정부호 행렬(positive definite matrix)

 

 

개요

• 실계수 n×n 행렬 M이 모든 0이 아닌 벡터 v 에 대하여, \(v^{T}M v > 0 \) 를 만족시킬 때, 양의 정부호 행렬이라 한다
• 실베스터 판정법 - leading principal minor 가 모두 양수이면 양의 정부호 행렬이다
• 다변수함수의 극점을 분류하는 헤세 판정법 에 응용할 수 있다

 

 

 

2×2 행렬의 경우

• 행렬
  \(\left( \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \right)\)
  
• principal submatrix
  \(\left( \begin{array}{c} a_{1,1} \end{array} \right)\), \(\left( \begin{array}{c} a_{2,2} \end{array} \right)\), \(\left( \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \right)\)
  
• leading principal submatrix
  \(\left( \begin{array}{c} a_{1,1} \end{array} \right)\), \(\left( \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \right)\)
  

 

 

3×3 행렬의 경우

• 행렬
  \(\left( \begin{array}{ccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{array} \right)\)
  
• principal submatrix
  \(\left( \begin{array}{c} a_{1,1} \end{array} \right)\),\(\left( \begin{array}{c} a_{2,2} \end{array} \right)\),\(\left( \begin{array}{c} a_{3,3} \end{array} \right)\)
  \(\left( \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \right)\), \(\left( \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,3} \\ a_{3,1} & a_{3,3} \end{array} \right)\), \(\left( \begin{array}{cc} a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,2} & a_{3,3} \end{array} \right)\)
  \(\left( \begin{array}{ccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{array} \right)\)
  
• leading principal submatrix
  \(\left( \begin{array}{c} a_{1,1} \end{array} \right)\)\(\left( \begin{array}{cc} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{array} \right)\), \(\left( \begin{array}{ccc} a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} \\ a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} \end{array} \right)\)
  

 

 

 

예

• 다음과 같은 5x5 행렬을 생각하자
  \(\left( \begin{array}{ccccc} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{array} \right)\)
  
• leading principal submatrix와 그 행렬식을 구하면 다음과 같다
  \(\begin{array}{ll} \left( \begin{array}{c} 2 \end{array} \right) & 2 \\ \left( \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{array} \right) & 3 \\ \left( \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{array} \right) & 4 \\ \left( \begin{array}{cccc} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 2 \end{array} \right) & 5 \\ \left( \begin{array}{ccccc} 2 & -1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 1 \end{array} \right) & 1 \end{array}\)
  

 

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

 

 

메모

 

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

 

 

관련된 항목들

• 이차형식
• 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)
• 헤세 판정법

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMzM0MWEwZjUtYzQzNS00NGEzLTkzNTgtZTc2ZTUyZmNjNWI4&sort=name&layout=list&num=50
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation
• 매스매티카 파일 목록

 

 

수학용어번역

• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=definite
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=minor
  • positive definite 양의 정부호
  • minor 소행렬식
• 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

 

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• [1]http://en.wikipedia.org/wiki/Positive-definite_matrix
• http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester's_criterion
• The Online Encyclopaedia of Mathematics
  
  • Positive-definite form

 

 

 

 

 

관련논문

• Gilbert, George T. 1991. “Positive Definite Matrices and Sylvester’s Criterion”. The American Mathematical Monthly 98 (1) (1월 1): 44-46. doi:10.2307/2324036.
  
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/10.2307/2324036

 

 

관련도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
  • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=