"연분수와 유리수 근사"의 두 판 사이의 차이

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2009년 5월 16일 (토) 19:41 판

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무리수 \(\alpha\) 에 대하여,

\(|\frac{p}{q}-\alpha|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}\)

는 무한히 많은 유리수 \(\frac{p}{q}\) 에 의하여 만족된다.

 

황금비와 연분수

위의 정리에서 \(\sqrt{5}\) 보다 작은 수(예를 들자면 2) 가 있어도 정리는 참이지만, \(\sqrt{5}\) 보다 큰 수는 불가능하다.

임의의 \(0<h<1\) 에 대하여

\(|\frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}|<\frac{h}{\sqrt{5}{q^2}}\)

 

가 유한히 많은 유리수 \(\frac{p}{q}\)에 의해서만 만족됨을 보이면 충분하다.

 

(증명)

위의 부등식이 만족되는 경우, 적당한 \(|\theta|<h<1\)에 대하여, 다음과 같이 쓸 수 있다.

\(\frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}\)

 

\(\frac{p}{q}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}\)

 

\(5q^2\{(p^2-pq-q^2)-\theta\}=\theta^2\)

 

\((p^2-pq-q^2)-\theta\) 는 양수이고, 정수 \(p^2-pq-q^2\)는 0이 될 수 없으므로, \(p^2-pq-q^2\geq1\)

따라서,

\(q^2=\frac{\theta^2}{5\{(p^2-pq-q^2)-\theta\}}<\frac{h^2}{5(1-h)}\)

그러므로, 주어진 부등식은 유한히 많은 \(q\) 에 대해서만 참이다. 또한 각각의 \(q\)에 대하여, 오직 유한히 많은 \(p\) 만이 부등식을 만족시킨다. (증명끝)

 

 

 

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