오일러-맥클로린 공식

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• 오일러-맥클로린 공식

 

 

간단한 소개

• 수열의 합과 적분을 연결해주는 공식

 

\(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \int^n_0f(x)\,dx+\sum_{k=1}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R\)

\(\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^{2(p+1)}}\int_0^n\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx\)

\(B_0=1\), \(B_1=-{1 \over 2}\), \(B_2={1\over 6}\), \(B_3=0\), \(B_4=-\frac{1}{30}\), \(B_5=0\), \(B_6=\frac{1}{42}\), \(B_8=-\frac{1}{30}\), \(B_{10}=\frac{5}{66}\), \(B_{12}=-\frac{691}{2730}\),\(B_{14}=\frac{7}{6}\)

\(\frac{B_k}{k!}\) 는 \(\{1, -1/2, 1/12, 0, -1/720, 0, 1/30240, 0, -1/1209600, 0, 1/47900160, 0, -691/1307674368000, 0, 1/74724249600\}\)

 

\(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \int^n_0f(x)\,dx-\frac{1}{2}(f(n)-f(0))+\frac{1}{12}(f'(n)-f'(0))-\frac{1}{720}(f^{(3)}(n)-f^{(3)}(0))+\frac{1}{30240}(f^{(5)}(n)-f^{(5)}(0))-\frac{1}{1209600}(f^{(7)}(n)-f^{(7)}(0))+\cdots\)

 

 

유용한 표현

\(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R\)

단, \(f^{(-1)}(x)=\int f(x)\,dx\) 라고 쓰자.

 

 

응용

• 거듭제곱의 합을 구하는 공식
• 스털링 공식
• 오일러상수, 감마
• 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)

 

 

 

 

재미있는 사실

• 오일러의 계산에 중요하게 활용되었다

 

 

관련된 고교수학 또는 대학수학

• 일변수미적분학

 

관련된 항목들

• 베르누이 수와 베르누이 다항식
• 스털링 공식
• 거듭제곱의 합을 구하는 공식

 

 

사전자료

• http://ko.wikipedia.org /wiki/오일러
• http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_summation_formula

 

 

관련도서

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관련논문

• Euler-Maclaurin summation formula (pdf)
  
  • E. Hairer (Author), G. Wanner
  • From Analysis by Its History, 160-169p
• Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula
  
  • David J. Pengelley
  • in: Robert Bradley and Ed Sandifer (Eds), Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002) , Euler Society, 2003.
• An Elementary View of Euler's Summation Formula
  
  • Tom M. Apostol
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 5 (May, 1999), pp. 409-418
• The Euler-Maclaurin and Taylor Formulas: Twin, Elementary Derivations
  
  • Vito Lampret
  • Mathematics Magazine, Vol. 74, No. 2 (Apr., 2001), pp. 109-122
• An Euler Summation Formula
  
  • Irwin Roman
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 43, No. 1 (Jan., 1936), pp. 9-21

 

 

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