"오일러상수, 감마"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
이 항목의 스프링노트 원문주소==
Pythagoras0 (토론 | 기여) 잔글 (찾아 바꾸기 – “<h5>” 문자열을 “==” 문자열로) |
Pythagoras0 (토론 | 기여) 잔글 (찾아 바꾸기 – “</h5>” 문자열을 “==” 문자열로) |
||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소== |
* [[오일러상수, 감마]] | * [[오일러상수, 감마]] | ||
| 7번째 줄: | 7번째 줄: | ||
| − | ==개요 | + | ==개요== |
* [[조화수열과 조화급수]] | * [[조화수열과 조화급수]] | ||
| 15번째 줄: | 15번째 줄: | ||
| − | ==정의 | + | ==정의== |
* 다음과 같은 극한으로 정의된다 | * 다음과 같은 극한으로 정의된다 | ||
| 29번째 줄: | 29번째 줄: | ||
| − | ==오일러 상수가 등장하는 곳 | + | ==오일러 상수가 등장하는 곳== |
* [[리만제타함수]]의 s=1에서의 로랑급수<br><math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))</math><br> | * [[리만제타함수]]의 s=1에서의 로랑급수<br><math>\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))</math><br> | ||
| 39번째 줄: | 39번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">오일러-맥클로린 공식을 이용하여 값 구하기 | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">오일러-맥클로린 공식을 이용하여 값 구하기== |
오일러-맥클로린 공식은 다음과 같이 주어진다 | 오일러-맥클로린 공식은 다음과 같이 주어진다 | ||
| 73번째 줄: | 73번째 줄: | ||
| − | ==재미있는 사실 | + | ==재미있는 사실== |
<math>\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}</math> 은 발산하지만 이것과 <math>\ln n</math> 과의 차는 수렴. | <math>\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}</math> 은 발산하지만 이것과 <math>\ln n</math> 과의 차는 수렴. | ||
| 81번째 줄: | 81번째 줄: | ||
| − | ==메모[[3275925/attachments/1496229|3275925/attachments/1496229]] | + | ==메모[[3275925/attachments/1496229|3275925/attachments/1496229]]== |
| 89번째 줄: | 89번째 줄: | ||
| − | ==관련된 항목들 | + | ==관련된 항목들== |
* [[오일러-맥클로린 공식]] | * [[오일러-맥클로린 공식]] | ||
| 102번째 줄: | 102번째 줄: | ||
| − | ==사전 참고자료[[3275925/attachments/1496229|3275925/attachments/1496229]] | + | ==사전 참고자료[[3275925/attachments/1496229|3275925/attachments/1496229]]== |
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC%EC%83%81%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러상수] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC%EC%83%81%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러상수] | ||
| 110번째 줄: | 110번째 줄: | ||
| − | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스 | + | ==매스매티카 파일 및 계산 리소스== |
* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZmViODUzNDQtNDcxOC00ZTU1LWE2ODctYTI2NDdiYzVkZWU0&sort=name&layout=list&num=50 | * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZmViODUzNDQtNDcxOC00ZTU1LWE2ODctYTI2NDdiYzVkZWU0&sort=name&layout=list&num=50 | ||
2012년 11월 1일 (목) 12:56 판
이 항목의 스프링노트 원문주소==
개요
정의
- 다음과 같은 극한으로 정의된다
\(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\ln n=\gamma\)
\(\gamma=0.577215664901532860606512090\cdots\)
- 적분표현
\(\gamma=-\int_{0}^{\infty}e^{-t}\log t\,dt\)
(증명)
아래의 \(\Gamma'(1)=-\gamma\) 참조. ■
오일러 상수가 등장하는 곳
- 리만제타함수의 s=1에서의 로랑급수
\(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))\)
- 감마함수와 다이감마 함수(digamma function)
\(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)
\(\psi(1) = -\gamma\,\!\)
\(\Gamma'(1)=-\gamma\)
- Epstein 제타함수와 크로네커 극한 공식
\(E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)\)
오일러-맥클로린 공식을 이용하여 값 구하기==
오일러-맥클로린 공식은 다음과 같이 주어진다
\(\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R\)
\(f(x)=\frac{1}{x}\) 에 대하여 적용해보자.
\(\int f(x)\,dx=\ln x\), \(f(x)=\frac{1}{x}\), \(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\), \(f^{(2)}(x)=\frac{2}{x^3}\), \(f^{(3)}(x)=-\frac{6}{x^4}\), \(f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{x^{k}}\)
\(\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(1)\right) =(-1)^{k-1}\frac{B_k}{k}(\frac{1}{n^{k}}-1)\)
\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}-\ln n = -\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-1)-\frac{1}{12}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{120}(\frac{1}{n^4}-1)+\frac{1}{252}(\frac{1}{n^6}-1)-\frac{1}{240}(\frac{1}{n^8}-1) \cdots\)
여기서 오일러라면(?) 다음식이 참이라고 가정 (사실은 발산하는 급수)
\(\frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{1}{120}-\frac{1}{252}+\frac{1}{240}+\cdots=\gamma\)
그 다음, \(n=10\) 인 경우에 다음식을 계산하면,
\(\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}-\ln n +\frac{1}{2n}+}\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\frac{1}{252^6}+\frac{1}{240n^8}\)
\(0.5772156649008\cdots=0.5263831609742\cdots+0.05083250392659\cdots\)
참고로 \(\gamma=0.5772156649015\cdots\)
재미있는 사실
\(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\) 은 발산하지만 이것과 \(\ln n\) 과의 차는 수렴.
메모3275925/attachments/1496229
관련된 항목들
사전 참고자료3275925/attachments/1496229
- http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러상수
- http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheroni_constant
- http://en.wikipedia.org/wiki/
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZmViODUzNDQtNDcxOC00ZTU1LWE2ODctYTI2NDdiYzVkZWU0&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
\(\gamma=-\int_{0}^{\infty}e^{-t}\log t\,dt\)
(증명)
아래의 \(\Gamma'(1)=-\gamma\) 참조. ■
\(\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))\)
\(\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}\)
\(\psi(1) = -\gamma\,\!\)
\(\Gamma'(1)=-\gamma\)
\(E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)\)
재미있는 사실
\(\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\) 은 발산하지만 이것과 \(\ln n\) 과의 차는 수렴.
메모3275925/attachments/1496229
관련된 항목들
사전 참고자료3275925/attachments/1496229
- http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러상수
- http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheroni_constant
- http://en.wikipedia.org/wiki/
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZmViODUzNDQtNDcxOC00ZTU1LWE2ODctYTI2NDdiYzVkZWU0&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation