"오일러 수"의 두 판 사이의 차이

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따라서 <math>N=10^{l}</math> 이면, <math>2E_{2M} \sim 10^{2l}</math> 정도 되는 <math>M</math> 이전의 전개가 자릿수를 어느정도 맞게 해줌
 
따라서 <math>N=10^{l}</math> 이면, <math>2E_{2M} \sim 10^{2l}</math> 정도 되는 <math>M</math> 이전의 전개가 자릿수를 어느정도 맞게 해줌
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다시 말해 소수점아래 <math>(2M+1)l</math> 정도 자리까지 전개라면 오일러 수로 보정이 가능
  
 
 
 
 
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예)
 
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<math>N=10^4</math> 인 경우, <math>E_{12}</math>가 일곱자리 수이므로, <math>M=5</math>개 정도의 항을 포함하는 근사전개가 적당
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<math>N=10^4</math> 인 경우, <math>E_{12}</math>가 일곱자리 수이므로, <math>M=5</math>개 정도까지의 근사전개, 즉 44자리 정도의 전개라면 오일러 수로 보정가능
  
 
 
 
 
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0.123'''4'''5678901'''2'''345678'''90'''12345'''678'''9012'''3456'''78901234567890123456789
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0.123'''4'''5678901'''2'''345678'''90'''12345'''678'''9012'''3456'''78'''901234'''567890123456789
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3.141'''5'''926535'''8''''''9'''793238'''46'''26433'''832'''7950'''2884'''19'''716939'''937510582
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3.141'''3'''926535'''9''''''1'''793238'''36'''26433'''954'''7950'''0''''''114'''19'''817981'''88345532196965187625458916006334194979629989247706731687
  
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2009년 9월 19일 (토) 18:40 판

간단한 소개
  • 오일러수 \(E_n\)은 다음과 같이 정의됨
    \(\frac{1}{\cosh t} = \frac{2}{e^{t} + e^ {-t} } = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{E_n}{n!} \cdot t^n\!\)
    \(\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \)
    \(\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}\)
  • 처음 몇 오일러수는 다음과 같음
    \(E_0=1\),\(E_2 = −1\),\(E_4 = 5\),\(E_6 = −61\),\(E_8 = 1,385\),\(E_{10} = −50,521\),\(E_{12} = 2,702,765\),\(E_{14} = −199,360,981\),\(E_{16} = 19,391,512,145\),\(E_{18} = −2,404,879,675,441\)

 

재미있는 사실

\(4\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=\pi\)

 

\(\frac{\pi}{2}-2\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }\sim \sum_{m=0}^{\infty}\frac{E_{2m}}{N^{2m+1}}=\frac{1}{N}-\frac{1}{N^3}+\frac{5}{N^5}-\frac{61}{N^7}+\cdots\)

\(\pi-4\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }\sim \sum_{m=0}^{\infty}\frac{2E_{2m}}{N^{2m+1}}=\frac{2}{N}-\frac{2}{N^3}+\frac{10}{N^5}-\frac{122}{N^7}+\cdots\)

 

좀더 엄밀하게 오차항은 다음 정도의 크기를 가짐

\(4\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }=(-1)^n\sum_{k=0}^{M}\frac{2E_{2k}}{(2n)^{2k+1}}+R(M)\)

여기서 \(|R(M)| \leq \frac{2|E_{2k}|}{(2n)^{2M+1}}\)

 

따라서 \(N=10^{l}\) 이면, \(2E_{2M} \sim 10^{2l}\) 정도 되는 \(M\) 이전의 전개가 자릿수를 어느정도 맞게 해줌

다시 말해 소수점아래 \((2M+1)l\) 정도 자리까지 전개라면 오일러 수로 보정이 가능

 

예)

\(N=10^4\) 인 경우, \(E_{12}\)가 일곱자리 수이므로, \(M=5\)개 정도까지의 근사전개, 즉 44자리 정도의 전개라면 오일러 수로 보정가능

 

 

\(4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots\)

 

0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

3.141'59265358'979323846264338327950288419716939937510582

3.14139265359'1793238362643395479500'1141981798188345532196965187625458916006334194979629989247706731687

 

2, -2, 10, -122, 2770, -

 

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