"오일러 토션트 함수"의 두 판 사이의 차이
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* 소수 <math>p</math> 에 대하여, <math>\varphi(p^{k}) = (p - 1)p^{k - 1}</math> | * 소수 <math>p</math> 에 대하여, <math>\varphi(p^{k}) = (p - 1)p^{k - 1}</math> | ||
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2012년 1월 4일 (수) 09:14 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
정의
- 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수의 개수를 나타내는 함수
- \(\varphi(n)\) 으로 나타냄
성질
- 서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\)
- 소수 \(p\) 에 대하여, \(\varphi(p^{k}) = (p - 1)p^{k - 1}\)
- \(\phi (1) = 1\)
- 일반적으로, 2 이상의 자연수 n 을 \(p_1 ^{\alpha _1} p_2 ^{\alpha _2} ... p_n ^{\alpha _n} \) 으로 소인수분해시, \(\phi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1} p_2 ^{\alpha _2 - 1} ... p_n ^{\alpha _n - 1} (p_1 - 1)(p_2 - 1) .. (p_n - 1) \) 이 된다.
- 포함과 배제의 원리 를 사용하여 증명할 수 있다
합동식에의 응용
- 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수로 구성된 집합은 곱셈 (mod n) 에 대한 군의 구조를 이룸
- 이 군을 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 로 표현하며, 원소의 개수는 \(\varphi(n)\) 이 됨.
- 합동식과 군론 항목 참조
원분체
- 원분체 (cyclotomic field) \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)
- \([\mathbb Q(\zeta_n): \mathbb Q)] = \varphi(n)\)
- 갈루아군은 \(\text{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n) /\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)를 만족하며, 그 크기는 \(\varphi(n)\) 이 됨.
100까지의 자연수에 대한 totient 함수값 목록
\(n\) \(\varphi(n)\)
1 1
2 1
3 2
4 2
5 4
6 2
7 6
8 4
9 6
10 4
11 10
12 4
13 12
14 6
15 8
16 8
17 16
18 6
19 18
20 8
21 12
22 10
23 22
24 8
25 20
26 12
27 18
28 12
29 28
30 8
31 30
32 16
33 20
34 16
35 24
36 12
37 36
38 18
39 24
40 16
41 40
42 12
43 42
44 20
45 24
46 22
47 46
48 16
49 42
50 20
51 32
52 24
53 52
54 18
55 40
56 24
57 36
58 28
59 58
60 16
61 60
62 30
63 36
64 32
65 48
66 20
67 66
68 32
69 44
70 24
71 70
72 24
73 72
74 36
75 40
76 36
77 60
78 24
79 78
80 32
81 54
82 40
83 82
84 24
85 64
86 42
87 56
88 40
89 88
90 24
91 72
92 44
93 60
94 46
95 72
96 32
97 96
98 42
99 60
100 40
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