"왓슨 변환(Watson transform)"의 두 판 사이의 차이

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정수가 아닌 복소수 a 를 고정하자.
 
정수가 아닌 복소수 a 를 고정하자.
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<math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}-a^4}=\frac{1}{2a^4}-\frac{\pi \cot (\pi a)}{4 a^3}-\frac{\pi \coth (\pi a)}{4 a^3}</math>
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(증명)
  
 
<math>g(z)=\frac{1}{z^4-a^4}</math>로 두고, 원점을 중심으로 반지름이<math>R</math> 인 원<math>C_{R}</math>에 대하여 왓슨변환을 적용하자.
 
<math>g(z)=\frac{1}{z^4-a^4}</math>로 두고, 원점을 중심으로 반지름이<math>R</math> 인 원<math>C_{R}</math>에 대하여 왓슨변환을 적용하자.
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여기서 우변에 더해진 항은<math>\{-a,-i a,i a,a\}</math> 에서 <math>\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}-a^4}</math>유수의 합이다.
 
여기서 우변에 더해진 항은<math>\{-a,-i a,i a,a\}</math> 에서 <math>\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}-a^4}</math>유수의 합이다.
  
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<math>\{-a,-i a,i a,a\}</math> 가 네 점에서, 의 유수(residue)의 합은<math>\frac{\pi  \cot (\pi  a)}{2 a^3}+\frac{\pi  \coth (\pi  a)}{2 a^3}</math>이다.
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반지름을<math>R=n+1/2 (n\in \mathbb{N})</math> 형태로 잡아 크게 하면, 좌변의 적분은 0으로 수렴한다.
  
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반지름을<math>R=n+1/2 (n\in \mathbb{N})</math> 형태로 잡아 크게 하면, 좌변의 적분은 0으로 수렴한다.
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따라서
  
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<math>2\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k^{4}+a^4}=0</math>
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<math>-\frac{1}{a^4}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}-a^4}+\frac{\pi  \cot (\pi  a)}{2 a^3}+\frac{\pi  \coth (\pi  a)}{2 a^3}=0</math> 를 얻는다.
  
 
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2011년 7월 19일 (화) 10:51 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 유수정리(residue theorem) 의 응용
  • 단순폐곡선 C로 둘러쌓인 도메인 D에서 정의된 해석함수 g에 대하여, 다음이 성립한다
    \(\frac{1}{2 \pi i}\int_{C} g(z) \pi \cot (\pi z) \, dz=\sum_{n\in D\cap \mathbb{Z}} g(n)\)
    여기서 \(\sum\) 는 D에 들어 있는 정수점 위의 합

 

 

복소함수 코탄젠트의 성질
  • \(\lim_{M\to \infty}\cot (x+iM)=-i\)
  • 반지름이 \(R=n+1/2\) 인 원 위에서 유계이며, 특히 \(0\leq \left|\cot \left(\pi R e^{i t}\right)|^2\leq 2\right\) 가 성립함. (\(n\in \mathbb{N}\), \(t\in \mathbb{R}\))

 

 

 

응용 

정수가 아닌 복소수 a 를 고정하자.

\(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}-a^4}=\frac{1}{2a^4}-\frac{\pi \cot (\pi a)}{4 a^3}-\frac{\pi \coth (\pi a)}{4 a^3}\)

(증명)

\(g(z)=\frac{1}{z^4-a^4}\)로 두고, 원점을 중심으로 반지름이\(R\) 인 원\(C_{R}\)에 대하여 왓슨변환을 적용하자.

 \(\frac{1}{2\pi i}\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}-a^4}dz=\sum_{n\leq R} \frac{1}{z^4-a^4}+\frac{\pi \cot (\pi a)}{2 a^3}+\frac{\pi \coth (\pi a)}{2 a^3}\)

여기서 우변에 더해진 항은\(\{-a,-i a,i a,a\}\) 에서 \(\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{4}-a^4}\)유수의 합이다.

반지름을\(R=n+1/2 (n\in \mathbb{N})\) 형태로 잡아 크게 하면, 좌변의 적분은 0으로 수렴한다.

따라서

\(-\frac{1}{a^4}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{4}-a^4}+\frac{\pi \cot (\pi a)}{2 a^3}+\frac{\pi \coth (\pi a)}{2 a^3}=0\) 를 얻는다.

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