"이차 수체에 대한 디리클레 유수 (class number) 공식"의 두 판 사이의 차이

2009년 4월 27일 (월) 13:41 판

\(\zeta_{K}(s)=\sum_{I \text{:ideals}}\frac{1}{N(I)^s}=\prod_{p \text{:prime ideals}} \frac{1}{1-N(p)^{-s}} \)

(정리) class number 공식

\( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2\pi h_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}\)

\(A=\frac{\sqrt{|d_K|}}{2}\)는 \(O_K\) 의 integral basis가 만드는 평행사변형의 면적이라고 하자.

\(\zeta_{K}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}\)
\(a_n\) 은 norm 이 \(n\)인, 모든 ideal의 개수
\(a_n(C)\) 는 ideal class \(C\) 에서, norm 이 \(n\)인 ideal의 개수
증명의 아이디어
각각의 ideal class에 대하여, 주어진 norm 보다 작은 ideal의 개수를 estimate한다
즉, \(A_M=\sum_{n=1}^M a_n\) 의 크기를 알아보면 된다.
Principal ideal class \(C\)
- \(A_M(C)=\sum_{n=1}^M a_n(C)\)
- \(|A_M(C)-\frac{\pi}{A}M|\leq C \sqrt{M}\), C는 적당한 상수
다른 아이디얼 클래스 \(C'\)
- \(A_M(C')=\sum_{n=1}^M a_n(C')\)
- \(|A_M(C')-\frac{\pi}{A}M|\leq C' \sqrt{M}\) 임을 보일 수 있다.
class number의 유한성에 의하여,
\(|A_M-\frac{\pi h}{A}M|\leq C_K \sqrt{M}\) 가 성립한다.

(정리) class number 공식

\( \lim_{s\to 1} (s-1)\zeta_K(s)=\frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h_K\cdot \operatorname{Reg}_K}{w_K \cdot \sqrt{|D_K|}}\)

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 * <math>a_n</math> 은 norm 이 <math>n</math>인, 모든 ideal의 개수
 * <math>a_n(C)</math> 는 ideal class <math>C</math> 에서, norm 이 <math>n</math>인 ideal의 개수
-*  증명의 아이디어<br> 각각의 ideal class에 대하여, 주어진 norm 보다 작은 ideal의 개수를 estimate한다<br>
+*  증명의 아이디어<br> 각각의 ideal class에 대하여, 주어진 norm 보다 작은 ideal의 개수를 estimate한다<br> 즉, <math>A_M=\sum_{n=1}^M a_n</math> 의 크기를 알아보면 된다.<br>
 *  Principal ideal class <math>C</math><br>
 ** <math>A_M(C)=\sum_{n=1}^M a_n(C)</math>
-** <math>|A_M(C)-\frac{\pi M}{A}|\leq C \sqrt{M}</math>, C는 적당한 상수
+** <math>|A_M(C)-\frac{\pi}{A}M|\leq C \sqrt{M}</math>, C는 적당한 상수
-*  다른 아이디얼 클래스<br>
+*  다른 아이디얼 클래스 <math>C'</math><br>
-**
+** <math>A_M(C')=\sum_{n=1}^M a_n(C')</math>
+** <math>|A_M(C')-\frac{\pi}{A}M|\leq C' \sqrt{M}</math> 임을 보일 수 있다.
+*  class number의 유한성에 의하여,<br><math>|A_M-\frac{\pi h}{A}M|\leq C_K \sqrt{M}</math> 가 성립한다.<br>
+*   <br>
+*   <br>
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 * http://ko.wikipedia.org/wiki/
 * http://en.wikipedia.org/wiki/Class_number_formula
+* http://en.wikipedia.org/wiki/Dedekind_zeta_function
 * http://viswiki.com/en/
 * http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=