일대일대응

간단한 소개

두 집합 사이의 함수가 존재한다고 할 때

 

수를 세다

화면에 나타나 있는 원의 개수를 세어보자.

이 때 우리는 이 원들에 번호를 매겨가면서 수를 셀 수 있다.

무엇이 잘못되었는가? 똑같은 숫자가 두 개의 원에 붙여졌다. 이 때문에 마지막 숫자가 원의 개수와 같지가 않다.
그럼 다음을 보자.

원의 개수는 13개 인가? 아니다. 건너 뛴 숫자가 있기 때문이다.
그럼 다음을 보자.

위에서 얻은 교훈에 의하여 이것이 맞게 세어 졌는가를 확인하기 위해서 우리가 해야 할 일은, 두 가지다. 첫번째로는 같은 숫자가 두 번 이상 등장하지 않는가를 보는 것이고, 두번째는 1부터 12까지의 수가 모두 등장했는지를 보는 것이다. 두 가지 테스트를 모두 통과하면 우리는 원의 개수와 마지막에 붙은 수는 같다고 믿을 수 있다. 생각해 보면 우리가 수를 세는 행위는 본질적으로 저것과 같다. 물건을 셀 때, 손가락을 가지고 하나, 둘, 셋 붙여 나가지 않는가. 현실에서 개수가 맞게 세어지지 않은 경우는 다음 중의 하나 일 것이다.
0. 아예 번호가 붙지 않은 것이 있다. 1. 똑같은 물건을 두 번이상 센다. 2. 빼먹은 숫자가 있다.

일대일대응

두 집합 사이에 함수가 존재한다고 할 때, 0번의 조건은 벌써 만족된 것이다. 1번 조건이 의미하는 것은 정의역의 원소가 서로 다른 것으로 대응됨을 뜻한다. 2번 조건은 공역의 원소가 빠짐없이 정의역의 원소에 의하여 대응되었음을 의미한다. 이러한 조건이 성립하면 두 집합의 원소의 개수는 같게 된다. 의식하지는 않지만,수를 센다는 것은 세는 것과 자연수 사이의 일대일대응을 만들어 주는 것이다. 매우 간단해 보이지만 일대일대응은 무한의 개수도 셀 수 있게 한다.