"자연상수 e"의 두 판 사이의 차이
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| + | 자연상수는 수열의 극한을 통하여 정의된다. 그리하여 그 수열을 먼저 이해하는 것이 필수적이다. 수열에 친숙해지기 위하여 좀더 친숙한 상황을 하나 생각해 보자. | ||
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| + | 비록 한국에서는 경제학을 문과로 분류하는 다소 이해할 수 없는 상황이 벌어지고 있지만, 자연상수를 공부하기엔, 돈과 이자 얘기가 좋다. 복리로 주어지는 예금상품이 있다고 하자. 넣어둔 돈이 a이고, 단위기간 동안의 이자율이 r이라고 하면, 그 단위기간이 지났을 때, 돈은 a(1+r) 이 된다. 만약에 그 돈을 계속 넣어둔다면, 약속된 단위기간이 지날 때마다, 통장의 예금은 | ||
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| + | <blockquote style="margin-top: 10px; margin-right: 10px; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 35px; border-top-width: 1px; border-right-width: 1px; border-bottom-width: 1px; border-left-width: 1px; border-top-style: solid; border-right-style: solid; border-bottom-style: solid; border-left-style: solid; border-top-color: rgb(244, 243, 236); border-right-color: rgb(244, 243, 236); border-bottom-color: rgb(244, 243, 236); border-left-color: rgb(244, 243, 236); background-color: rgb(250, 250, 231); background-position: 7px 10px;"> | ||
| + | <math>a(1+r), a(1+r)^2, a(1+r)^3, /cdots,</math> | ||
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| + | 이제 자연상수를 공부하기 위하여, 넣어둔 돈은 1, 단위기간은 1년, 이자율은 100%라고 하자.(말하고 보니, 이데아의 세계…) 1년 뒤에는 돈이 2가 될 것이다. 그런데 이 상황을 약간 변형하여 이렇게 하면 어떨까. 단위기간은 1년의 절반인 6개월로 하는 대신, 이자를 6개월마다 50% 복리로 받는 것이다. 그렇다면 1년 후에, 통장에 들어 있게 되는 돈은 다음과 같다. | ||
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| + | <blockquote style="margin-top: 10px; margin-right: 10px; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 35px; border-top-width: 1px; border-right-width: 1px; border-bottom-width: 1px; border-left-width: 1px; border-top-style: solid; border-right-style: solid; border-bottom-style: solid; border-left-style: solid; border-top-color: rgb(244, 243, 236); border-right-color: rgb(244, 243, 236); border-bottom-color: rgb(244, 243, 236); border-left-color: rgb(244, 243, 236); background-color: rgb(250, 250, 231); background-position: 7px 10px;"> | ||
| + | <math>(1+/frac{1}{2})^2=2.25</math> | ||
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| + | 수익이 더 높아졌다! | ||
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| + | 만약에 단위기간을 1년의 3분의 1인, 4개월로 하고, 4개월마다 이자를 33.33% 씩 받는다면, 1년 후에 받게 되는 돈은 이렇게 될 것이다. | ||
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| + | <blockquote style="margin-top: 10px; margin-right: 10px; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 35px; border-top-width: 1px; border-right-width: 1px; border-bottom-width: 1px; border-left-width: 1px; border-top-style: solid; border-right-style: solid; border-bottom-style: solid; border-left-style: solid; border-top-color: rgb(244, 243, 236); border-right-color: rgb(244, 243, 236); border-bottom-color: rgb(244, 243, 236); border-left-color: rgb(244, 243, 236); background-color: rgb(250, 250, 231); background-position: 7px 10px;"> | ||
| + | <math>(1+/frac{1}{3})^3=2.370370 /cdots</math> | ||
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| + | 수익이 더 높아졌다. 이자를 이런 식으로 받으면 수익은 언제나 더 높아지는 것일까? 즉, 만약 단위기간을 1년의 n분의 1로 하고, 이자를 n분의 1 비율의 복리로 받게 된다면, 1년후, 이 돈은 얼마가 되는 것일까. 이렇게 될 것이다. | ||
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| + | <blockquote style="margin-top: 10px; margin-right: 10px; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 35px; border-top-width: 1px; border-right-width: 1px; border-bottom-width: 1px; border-left-width: 1px; border-top-style: solid; border-right-style: solid; border-bottom-style: solid; border-left-style: solid; border-top-color: rgb(244, 243, 236); border-right-color: rgb(244, 243, 236); border-bottom-color: rgb(244, 243, 236); border-left-color: rgb(244, 243, 236); background-color: rgb(250, 250, 231); background-position: 7px 10px;"> | ||
| + | <math>(1+/frac{1}{n})^n</math> | ||
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| + | 이제 오늘 내가 할 것은, 바로 이 수열에 대한 것이다. | ||
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| + | 첫번째, 이자율은 아무리 잘게 쪼개도 200%는 안 된다.<br> 두번째, 그렇지만 이자를 잘게 쪼개서 받을수록 수익률은 더 높다. | ||
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| + | 이 두가지 사실이 수학적으로 의미하는 사실은, | ||
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| + | <blockquote style="margin-top: 10px; margin-right: 10px; margin-bottom: 10px; margin-left: 10px; padding-top: 0px; padding-right: 0px; padding-bottom: 0px; padding-left: 35px; border-top-width: 1px; border-right-width: 1px; border-bottom-width: 1px; border-left-width: 1px; border-top-style: solid; border-right-style: solid; border-bottom-style: solid; border-left-style: solid; border-top-color: rgb(244, 243, 236); border-right-color: rgb(244, 243, 236); border-bottom-color: rgb(244, 243, 236); border-left-color: rgb(244, 243, 236); background-color: rgb(250, 250, 231); background-position: 7px 10px;"> | ||
| + | <math>/{(1+/frac{1}{n})^n/}</math> | ||
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| + | 이라는 수열은, 유계인 단조증가 수열이라는 것이다. 따라서 지난번 “[http://bomber0.byus.net/index.php/2008/03/30/570 리만의 제타함수 (5) : 지수의 실수로의 확장]“에서 언급한, 실수의 완비성에 의해, 이 수열은 수렴하게 된다. 이 때, 수열의 극한값을 e, 자연상수라고 부르는 것이다. | ||
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| + | 수열 <math>(1+/frac{1}{n})^n</math>. | ||
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| + | <math>(1+/frac{1}{n})^n < 3</math> 의 증명 | ||
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| + | <math>(1+/frac{1}{n})^n</math>는 증가수열 및 자연상수의 정의. | ||
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* [[1964250|0 토픽용템플릿]]<br> | * [[1964250|0 토픽용템플릿]]<br> | ||
** [[2060652|0 상위주제템플릿]]<br> | ** [[2060652|0 상위주제템플릿]]<br> | ||
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 고교수학 또는 대학수학</h5> | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 고교수학 또는 대학수학</h5> | ||
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 다른 주제들</h5> | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련된 다른 주제들</h5> | ||
| − | + | * [[산술기하조화평균과 부등식]]<br> | |
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련기사</h5> | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">관련기사</h5> | ||
| + | * 도박,그만둘 때를 알면 잃지 않는다<br> | ||
| + | * 임원철, 부산일보, 2009-8-15<br> | ||
* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | ||
** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query= | ** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query= | ||
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<h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">블로그</h5> | <h5 style="line-height: 3.428em; margin-top: 0px; margin-right: 0px; margin-bottom: 0px; margin-left: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic', dotum, gulim, sans-serif; font-size: 1.166em; background-image: ; background-color: initial; background-position: 0px 100%;">블로그</h5> | ||
| + | * [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/04/05/575 리만의 제타함수 (6) : 자연상수] | ||
* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/26/696 derangement : 목욕탕에서 서로 등을 밀어주는 경우의 수와 자연상수] (피타고라스의 창) | * [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/07/26/696 derangement : 목욕탕에서 서로 등을 밀어주는 경우의 수와 자연상수] (피타고라스의 창) | ||
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2009년 8월 15일 (토) 20:11 판
간단한 소개
자연상수는 수열의 극한을 통하여 정의된다. 그리하여 그 수열을 먼저 이해하는 것이 필수적이다. 수열에 친숙해지기 위하여 좀더 친숙한 상황을 하나 생각해 보자.
비록 한국에서는 경제학을 문과로 분류하는 다소 이해할 수 없는 상황이 벌어지고 있지만, 자연상수를 공부하기엔, 돈과 이자 얘기가 좋다. 복리로 주어지는 예금상품이 있다고 하자. 넣어둔 돈이 a이고, 단위기간 동안의 이자율이 r이라고 하면, 그 단위기간이 지났을 때, 돈은 a(1+r) 이 된다. 만약에 그 돈을 계속 넣어둔다면, 약속된 단위기간이 지날 때마다, 통장의 예금은
\(a(1+r), a(1+r)^2, a(1+r)^3, /cdots,\)
로 늘어나게 된다.
이제 자연상수를 공부하기 위하여, 넣어둔 돈은 1, 단위기간은 1년, 이자율은 100%라고 하자.(말하고 보니, 이데아의 세계…) 1년 뒤에는 돈이 2가 될 것이다. 그런데 이 상황을 약간 변형하여 이렇게 하면 어떨까. 단위기간은 1년의 절반인 6개월로 하는 대신, 이자를 6개월마다 50% 복리로 받는 것이다. 그렇다면 1년 후에, 통장에 들어 있게 되는 돈은 다음과 같다.
\((1+/frac{1}{2})^2=2.25\)
수익이 더 높아졌다!
만약에 단위기간을 1년의 3분의 1인, 4개월로 하고, 4개월마다 이자를 33.33% 씩 받는다면, 1년 후에 받게 되는 돈은 이렇게 될 것이다.
\((1+/frac{1}{3})^3=2.370370 /cdots\)
수익이 더 높아졌다. 이자를 이런 식으로 받으면 수익은 언제나 더 높아지는 것일까? 즉, 만약 단위기간을 1년의 n분의 1로 하고, 이자를 n분의 1 비율의 복리로 받게 된다면, 1년후, 이 돈은 얼마가 되는 것일까. 이렇게 될 것이다.
\((1+/frac{1}{n})^n\)
이제 오늘 내가 할 것은, 바로 이 수열에 대한 것이다.
첫번째, 이자율은 아무리 잘게 쪼개도 200%는 안 된다.
두번째, 그렇지만 이자를 잘게 쪼개서 받을수록 수익률은 더 높다.
이 두가지 사실이 수학적으로 의미하는 사실은,
\(/{(1+/frac{1}{n})^n/}\)
이라는 수열은, 유계인 단조증가 수열이라는 것이다. 따라서 지난번 “리만의 제타함수 (5) : 지수의 실수로의 확장“에서 언급한, 실수의 완비성에 의해, 이 수열은 수렴하게 된다. 이 때, 수열의 극한값을 e, 자연상수라고 부르는 것이다.
수열 \((1+/frac{1}{n})^n\).
\((1+/frac{1}{n})^n < 3\) 의 증명
\((1+/frac{1}{n})^n\)는 증가수열 및 자연상수의 정의.
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- http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
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- 대한수학회 수학 학술 용어집
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