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자연상수는 수열의 극한을 통하여 정의된다. 그리하여 그 수열을 먼저 이해하는 것이 필수적이다. 수열에 친숙해지기 위하여 좀더 친숙한 상황을 하나 생각해 보자. | 자연상수는 수열의 극한을 통하여 정의된다. 그리하여 그 수열을 먼저 이해하는 것이 필수적이다. 수열에 친숙해지기 위하여 좀더 친숙한 상황을 하나 생각해 보자. | ||
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<math>(1 + \frac{1}{n})^n</math>는 증가수열 및 자연상수의 정의. | <math>(1 + \frac{1}{n})^n</math>는 증가수열 및 자연상수의 정의. | ||
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<h5 style="margin: 0px; background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">상위 주제</h5> | <h5 style="margin: 0px; background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">상위 주제</h5> | ||
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** 임원철, 부산일보, 2009-8-15<br> | ** 임원철, 부산일보, 2009-8-15<br> | ||
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2009년 11월 9일 (월) 17:37 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
간단한 소개
자연상수는 수열의 극한을 통하여 정의된다. 그리하여 그 수열을 먼저 이해하는 것이 필수적이다. 수열에 친숙해지기 위하여 좀더 친숙한 상황을 하나 생각해 보자.
비록 한국에서는 경제학을 문과로 분류하는 다소 이해할 수 없는 상황이 벌어지고 있지만, 자연상수를 공부하기엔, 돈과 이자 얘기가 좋다. 복리로 주어지는 예금상품이 있다고 하자. 넣어둔 돈이 a이고, 단위기간 동안의 이자율이 r이라고 하면, 그 단위기간이 지났을 때, 돈은 a(1+r) 이 된다. 만약에 그 돈을 계속 넣어둔다면, 약속된 단위기간이 지날 때마다, 통장의 예금은
\(a(1+r), a(1+r)^2, a(1+r)^3, \cdots, a(1+r)^n, \cdots\)
로 늘어나게 된다.
이제 자연상수를 공부하기 위하여, 넣어둔 돈은 1, 단위기간은 1년, 이자율은 100%라고 하자.(말하고 보니, 이데아의 세계…) 1년 뒤에는 돈이 2가 될 것이다. 그런데 이 상황을 약간 변형하여 이렇게 하면 어떨까. 단위기간은 1년의 절반인 6개월로 하는 대신, 이자를 6개월마다 50% 복리로 받는 것이다. 그렇다면 1년 후에, 통장에 들어 있게 되는 돈은 다음과 같다.
\((1 + \frac{1}{2})^2 = 2.25\)
수익이 더 높아졌다!
만약에 단위기간을 1년의 3분의 1인, 4개월로 하고, 4개월마다 이자를 33.33% 씩 받는다면, 1년 후에 받게 되는 돈은 이렇게 될 것이다.
\((1+\frac{1}{3})^3 = 2.3703704\cdots\)
수익이 더 높아졌다. 이자를 이런 식으로 받으면 수익은 언제나 더 높아지는 것일까? 즉, 만약 단위기간을 1년의 n분의 1로 하고, 이자를 n분의 1 비율의 복리로 받게 된다면, 1년후, 이 돈은 얼마가 되는 것일까. 이렇게 될 것이다.
\((1 + \frac{1}{n})^n\)
이제 오늘 내가 할 것은, 바로 이 수열에 대한 것이다.
첫번째, 이자율은 아무리 잘게 쪼개도 200%는 안 된다.
두번째, 그렇지만 이자를 잘게 쪼개서 받을수록 수익률은 더 높다.
이 두가지 사실이 수학적으로 의미하는 사실은,
\((1 + \frac{1}{n})^n\)
이라는 수열은, 유계인 단조증가 수열이라는 것이다. 따라서 지난번 “리만의 제타함수 (5) : 지수의 실수로의 확장“에서 언급한, 실수의 완비성에 의해, 이 수열은 수렴하게 된다. 이 때, 수열의 극한값을 e, 자연상수라고 부르는 것이다.
수열
\((1 + \frac{1}{n})^n<3\) 의 증명
\((1 + \frac{1}{n})^n\)는 증가수열 및 자연상수의 정의.
상위 주제
하위페이지
재미있는 사실
- \(e^{-e}<x<e^{1/e}\) 인 x에 대해 \({{{x^x}^x}^x}^{...}\)은 극한을 갖는다.
재미있는 사실
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/자연상수
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
관련도서 및 추천도서
- 도서내검색
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- 네이버 지식인
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오일러의 수 (자연상수 е) - 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
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