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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소== |
* [[자연상수 e]] | * [[자연상수 e]] | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">개요 | + | <h5 style="margin: 0px; background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">개요== |
* 다음 수열의 극한을 통해 정의됨<br><math>e=\lim_{n\to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240\cdots</math><br> | * 다음 수열의 극한을 통해 정의됨<br><math>e=\lim_{n\to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240\cdots</math><br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; padding: 0.3em;">이자율을 통한 이해 | + | <h5 style="margin: 0px; padding: 0.3em;">이자율을 통한 이해== |
수열에 친숙해지기 위하여 좀더 친숙한 상황을 하나 생각해 보자. | 수열에 친숙해지기 위하여 좀더 친숙한 상황을 하나 생각해 보자. | ||
| 67번째 줄: | 67번째 줄: | ||
| − | <h5 style="margin: 0px; padding: 0.3em;">수열의 수렴 | + | <h5 style="margin: 0px; padding: 0.3em;">수열의 수렴== |
* 정의에 사용된 수열은 매우 느리게 수렴함<br><math>a_n=(1 + \frac{1}{n})^n</math><br> | * 정의에 사용된 수열은 매우 느리게 수렴함<br><math>a_n=(1 + \frac{1}{n})^n</math><br> | ||
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| − | ==급수의 수렴 | + | ==급수의 수렴== |
* 다음 급수는 빠르게 자연상수로 수렴하므로 자연상수의 십진법 전개를 계산하는데 사용될 수 있음<br><math>b_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}</math><br> | * 다음 급수는 빠르게 자연상수로 수렴하므로 자연상수의 십진법 전개를 계산하는데 사용될 수 있음<br><math>b_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}</math><br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">자연상수의 소수점 1000자리까지의 전개 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">자연상수의 소수점 1000자리까지의 전개== |
* 소수점 1000자리 십진전개<br> 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407\<br> 6630353547594571382178525166427427466391932003059921817413596629043572\<br> 9003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341\<br> 8793070215408914993488416750924476146066808226480016847741185374234544\<br> 2437107539077744992069551702761838606261331384583000752044933826560297\<br> 6067371132007093287091274437470472306969772093101416928368190255151086\<br> 5746377211125238978442505695369677078544996996794686445490598793163688\<br> 9230098793127736178215424999229576351482208269895193668033182528869398\<br> 4964651058209392398294887933203625094431173012381970684161403970198376\<br> 7932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125\<br> 0996181881593041690351598888519345807273866738589422879228499892086805\<br> 8257492796104841984443634632449684875602336248270419786232090021609902\<br> 3530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642\<br> 4378140592714563549061303107208510383750510115747704171898610687396965\<br> 521267154688957035035<br> | * 소수점 1000자리 십진전개<br> 2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407\<br> 6630353547594571382178525166427427466391932003059921817413596629043572\<br> 9003342952605956307381323286279434907632338298807531952510190115738341\<br> 8793070215408914993488416750924476146066808226480016847741185374234544\<br> 2437107539077744992069551702761838606261331384583000752044933826560297\<br> 6067371132007093287091274437470472306969772093101416928368190255151086\<br> 5746377211125238978442505695369677078544996996794686445490598793163688\<br> 9230098793127736178215424999229576351482208269895193668033182528869398\<br> 4964651058209392398294887933203625094431173012381970684161403970198376\<br> 7932068328237646480429531180232878250981945581530175671736133206981125\<br> 0996181881593041690351598888519345807273866738589422879228499892086805\<br> 8257492796104841984443634632449684875602336248270419786232090021609902\<br> 3530436994184914631409343173814364054625315209618369088870701676839642\<br> 4378140592714563549061303107208510383750510115747704171898610687396965\<br> 521267154688957035035<br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">상위 주제 | + | <h5 style="margin: 0px; background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">상위 주제== |
* [[수학의 상수들(mathematical constants)|중요한 상수들]]<br> | * [[수학의 상수들(mathematical constants)|중요한 상수들]]<br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">재미있는 사실 | + | <h5 style="margin: 0px; background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">재미있는 사실== |
* <math>e^{-e}<x<e^{1/e}</math> 인 x에 대해 <math>{{{x^x}^x}^x}^{...}</math>은 극한을 갖는다. <br> | * <math>e^{-e}<x<e^{1/e}</math> 인 x에 대해 <math>{{{x^x}^x}^x}^{...}</math>은 극한을 갖는다. <br> | ||
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| − | ==재미있는 사실 | + | ==재미있는 사실== |
* | * | ||
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| − | ==역사 | + | ==역사== |
* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | * [[수학사연표 (역사)|수학사연표]] | ||
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| − | ==메모 | + | ==메모== |
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| − | ==관련된 항목들 | + | ==관련된 항목들== |
* [[자연로그는 왜 자연로그라고 불리나?]] | * [[자연로그는 왜 자연로그라고 불리나?]] | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역== |
* http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
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| − | ==사전 형태의 자료 | + | ==사전 형태의 자료== |
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9E%90%EC%97%B0%EC%83%81%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/자연상수] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9E%90%EC%97%B0%EC%83%81%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/자연상수] | ||
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| − | ==관련논문과 에세이 | + | ==관련논문과 에세이== |
* [http://www.jstor.org/stable/2308112 The Number e]<br> | * [http://www.jstor.org/stable/2308112 The Number e]<br> | ||
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| − | ==관련도서 및 추천도서 | + | ==관련도서 및 추천도서== |
* [http://book.daum.net/detail/book.do?bookid=KOR9788972824671 오일러가 사랑한 수 e] (경문수학산책16) e : (The) Story of a number<br> | * [http://book.daum.net/detail/book.do?bookid=KOR9788972824671 오일러가 사랑한 수 e] (경문수학산책16) e : (The) Story of a number<br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">많이 나오는 질문과 답변 | + | <h5 style="margin: 0px; background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">많이 나오는 질문과 답변== |
* 네이버 지식인<br> | * 네이버 지식인<br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">관련기사 | + | <h5 style="margin: 0px; background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">관련기사== |
* [http://news20.busan.com/news/newsController.jsp?sectionId=1_2&newsId=20090814000170 도박,그만둘 때를 알면 잃지 않는다]<br>[http://news20.busan.com/news/newsController.jsp?sectionId=1_2&newsId=20090814000170 ]<br> | * [http://news20.busan.com/news/newsController.jsp?sectionId=1_2&newsId=20090814000170 도박,그만둘 때를 알면 잃지 않는다]<br>[http://news20.busan.com/news/newsController.jsp?sectionId=1_2&newsId=20090814000170 ]<br> | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">블로그 | + | <h5 style="margin: 0px; background-position: 0px 100%; font-size: 1.16em; color: rgb(34, 61, 103); line-height: 3.42em; font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif;">블로그== |
* [http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/ An Intuitive Guide To Exponential Functions & e]<br> | * [http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-guide-to-exponential-functions-e/ An Intuitive Guide To Exponential Functions & e]<br> | ||
2012년 11월 1일 (목) 13:58 판
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개요==
- 다음 수열의 극한을 통해 정의됨
\(e=\lim_{n\to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240\cdots\)
- 이 수열은 느리게 수렴함
- 급수를 통한 표현
\(e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\)
- 이 급수는 빠르게 수렴함
- 미적분학에서 가장 중요한 역할을 하는 수의 하나로 다음 함수들을 정의할 수 있게 해줌
- 지수함수 \(e^x\)
- 자연로그함수 \(\ln x = \log_{e} x\)
이자율을 통한 이해==
수열에 친숙해지기 위하여 좀더 친숙한 상황을 하나 생각해 보자.
자연상수를 공부하기엔, 돈과 이자 얘기가 좋다. 복리로 주어지는 예금상품이 있다고 하자. 넣어둔 돈이 a이고, 단위기간 동안의 이자율이 r이라고 하면, 그 단위기간이 지났을 때, 돈은 a(1+r) 이 된다. 만약에 그 돈을 계속 넣어둔다면, 약속된 단위기간이 지날 때마다, 통장의 예금
\(a(1+r), a(1+r)^2, a(1+r)^3, \cdots, a(1+r)^n, \cdots\)
로 늘어나게 된다.
이제 자연상수를 공부하기 위하여, 넣어둔 돈은 1, 단위기간은 1년, 이자율은 100%라고 하자.(말하고 보니, 이데아의 세계…) 1년 뒤에는 돈이 2가 될 것이다. 그런데 이 상황을 약간 변형하여 이렇게 하면 어떨까. 단위기간은 1년의 절반인 6개월로 하는 대신, 이자를 6개월마다 50% 복리로 받는 것이다. 그렇다면 1년 후에, 통장에 들어 있게 되는 돈은 다음과 같다.
\((1 + \frac{1}{2})^2 = 2.25\)
수익이 더 높아졌다!
만약에 단위기간을 1년의 3분의 1인, 4개월로 하고, 4개월마다 이자를 33.33% 씩 받는다면, 1년 후에 받게 되는 돈은 이렇게 될 것이다.
\((1+\frac{1}{3})^3 = 2.3703704\cdots\)
수익이 더 높아졌다. 이자를 이런 식으로 받으면 수익은 언제나 더 높아지는 것일까? 즉, 만약 단위기간을 1년의 n분의 1로 하고, 이자를 n분의 1 비율의 복리로 받게 된다면, 1년후, 이 돈은 얼마가 되는 것일까. 이렇게 될 것이다.
\((1 + \frac{1}{n})^n\)
이제 오늘 내가 할 것은, 바로 이 수열에 대한 것이다.
첫번째, 이자율은 아무리 잘게 쪼개도 200%는 안 된다.
두번째, 그렇지만 이자를 잘게 쪼개서 받을수록 수익률은 더 높다.
이 두가지 사실이 수학적으로 의미하는 사실은,
\((1 + \frac{1}{n})^n\)
이라는 수열은, 유계인 단조증가 수열이라는 것이다. 따라서 지난번 “리만의 제타함수 (5) : 지수의 실수로의 확장“에서 언급한, 실수의 완비성에 의해, 이 수열은 수렴하게 된다. 이 때, 수열의 극한값을 e, 자연상수라고 부르는 것이다.
수열
\((1 + \frac{1}{n})^n<3\) 의 증명
\((1 + \frac{1}{n})^n\)는 증가수열 및 자연상수의 정의.
수열의 수렴==
- 정의에 사용된 수열은 매우 느리게 수렴함
\(a_n=(1 + \frac{1}{n})^n\)
[/pages/3623769/attachments/2475173 e.gif]
- \(a_1\)부터 \(a_{20}\)까지의 값
2.0000000000000000000
2.2500000000000000000
2.3703703703703703704
2.4414062500000000000
2.4883200000000000000
2.5216263717421124829
2.5464996970407131139
2.5657845139503479004
2.5811747917131971820
2.5937424601000000000
2.6041990118975308782
2.6130352902246781603
2.6206008878857322211
2.6271515563008693884
2.6328787177279190470
2.6379284973665998588
2.6424143751831096203
2.6464258210976854673
2.6500343266404449073
2.6532977051444201339
급수의 수렴
- 다음 급수는 빠르게 자연상수로 수렴하므로 자연상수의 십진법 전개를 계산하는데 사용될 수 있음
\(b_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\)
- \(b_1\)부터 \(b_{20}\)까지의 값
2.00000000000000000000000000000
2.50000000000000000000000000000
2.66666666666666666666666666667
2.70833333333333333333333333333
2.71666666666666666666666666667
2.71805555555555555555555555556
2.71825396825396825396825396825
2.71827876984126984126984126984
2.71828152557319223985890652557
2.71828180114638447971781305115
2.71828182619849286515953182620
2.71828182828616856394634172412
2.71828182844675900231455787011
2.71828182845822974791228759483
2.71828182845899446428546957647
2.71828182845904225905879345033
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2.71828182845904522670811748171
2.71828182845904523492875272834
2.71828182845904523533978449067
자연상수의 소수점 1000자리까지의 전개==
- 소수점 1000자리 십진전개
2.71828182845904523536028747135266249775724709369995957496696762772407\
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상위 주제==
하위페이지
재미있는 사실==
- \(e^{-e}<x<e^{1/e}\) 인 x에 대해 \({{{x^x}^x}^x}^{...}\)은 극한을 갖는다.
재미있는 사실
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역==
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/자연상수
- http://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문과 에세이
- The Number e
- J. L. Coolidge, The American Mathematical Monthly, Vol. 57, No. 9 (Nov., 1950), pp. 591-602
- Why Logarithms to the Base e Can Justly Be Called Natural Logarithms
- John Ellis Evans, National Mathematics Magazine, Vol. 14, No. 2 (Nov., 1939), pp. 91-95
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=coolidge
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://dx.doi.org/
관련도서 및 추천도서
- 오일러가 사랑한 수 e (경문수학산책16) e : (The) Story of a number
- 엘리 마오 지음, 허민, 옮김, 경문사, 2000-12-01
- 도서내검색
- 도서검색
많이 나오는 질문과 답변==
관련기사==
- 도박,그만둘 때를 알면 잃지 않는다
[1]
- 임원철, 부산일보, 2009-8-15
- 김희연의 자연계 논술 노트 ⑨ 오일러의 수 (자연상수 е)
- 김희연, 한국경제, 2009-04-24
- 이자에 이자 붙는 `복리의 마술`
- 정재형, 한국경제, 2009-04-24
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
- http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=자연상수
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블로그==
- An Intuitive Guide To Exponential Functions & e
- BetterExplained
- 리만의 제타함수 (6) : 자연상수
- derangement : 목욕탕에서 서로 등을 밀어주는 경우의 수와 자연상수 (피타고라스의 창)
- 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
- 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
- 다음 수열의 극한을 통해 정의됨
\(e=\lim_{n\to \infty}(1 + \frac{1}{n})^n = 2.7182818284590452353602874713526624977572470936999595749669676277240\cdots\)
- 이 수열은 느리게 수렴함
- 급수를 통한 표현
\(e=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\)
- 이 급수는 빠르게 수렴함
- 이 급수는 빠르게 수렴함
- 미적분학에서 가장 중요한 역할을 하는 수의 하나로 다음 함수들을 정의할 수 있게 해줌
- 지수함수 \(e^x\)
- 자연로그함수 \(\ln x = \log_{e} x\)
- 지수함수 \(e^x\)
두번째, 그렇지만 이자를 잘게 쪼개서 받을수록 수익률은 더 높다. 이 두가지 사실이 수학적으로 의미하는 사실은, \((1 + \frac{1}{n})^n\) 이라는 수열은, 유계인 단조증가 수열이라는 것이다. 따라서 지난번 “리만의 제타함수 (5) : 지수의 실수로의 확장“에서 언급한, 실수의 완비성에 의해, 이 수열은 수렴하게 된다. 이 때, 수열의 극한값을 e, 자연상수라고 부르는 것이다. 수열 \((1 + \frac{1}{n})^n<3\) 의 증명 \((1 + \frac{1}{n})^n\)는 증가수열 및 자연상수의 정의.
- 정의에 사용된 수열은 매우 느리게 수렴함
\(a_n=(1 + \frac{1}{n})^n\)
- \(a_1\)부터 \(a_{20}\)까지의 값
2.0000000000000000000
2.2500000000000000000
2.3703703703703703704
2.4414062500000000000
2.4883200000000000000
2.5216263717421124829
2.5464996970407131139
2.5657845139503479004
2.5811747917131971820
2.5937424601000000000
2.6041990118975308782
2.6130352902246781603
2.6206008878857322211
2.6271515563008693884
2.6328787177279190470
2.6379284973665998588
2.6424143751831096203
2.6464258210976854673
2.6500343266404449073
2.6532977051444201339
\(b_n=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!}\)
2.00000000000000000000000000000
2.50000000000000000000000000000
2.66666666666666666666666666667
2.70833333333333333333333333333
2.71666666666666666666666666667
2.71805555555555555555555555556
2.71825396825396825396825396825
2.71827876984126984126984126984
2.71828152557319223985890652557
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2.71828182619849286515953182620
2.71828182828616856394634172412
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2.71828182845822974791228759483
2.71828182845899446428546957647
2.71828182845904225905879345033
2.71828182845904507051604779585
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2.71828182845904523533978449067
- 소수점 1000자리 십진전개
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재미있는 사실==
- \(e^{-e}<x<e^{1/e}\) 인 x에 대해 \({{{x^x}^x}^x}^{...}\)은 극한을 갖는다.
재미있는 사실
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역==
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/자연상수
- http://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문과 에세이
- The Number e
- J. L. Coolidge, The American Mathematical Monthly, Vol. 57, No. 9 (Nov., 1950), pp. 591-602
- Why Logarithms to the Base e Can Justly Be Called Natural Logarithms
- John Ellis Evans, National Mathematics Magazine, Vol. 14, No. 2 (Nov., 1939), pp. 91-95
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=coolidge
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://dx.doi.org/
관련도서 및 추천도서
- 오일러가 사랑한 수 e (경문수학산책16) e : (The) Story of a number
- 엘리 마오 지음, 허민, 옮김, 경문사, 2000-12-01
- 도서내검색
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많이 나오는 질문과 답변==
관련기사==
- 도박,그만둘 때를 알면 잃지 않는다
[1]
- 임원철, 부산일보, 2009-8-15
- 김희연의 자연계 논술 노트 ⑨ 오일러의 수 (자연상수 е)
- 김희연, 한국경제, 2009-04-24
- 이자에 이자 붙는 `복리의 마술`
- 정재형, 한국경제, 2009-04-24
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
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관련논문과 에세이
- The Number e
- J. L. Coolidge, The American Mathematical Monthly, Vol. 57, No. 9 (Nov., 1950), pp. 591-602
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- John Ellis Evans, National Mathematics Magazine, Vol. 14, No. 2 (Nov., 1939), pp. 91-95
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=coolidge
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[1]
- 임원철, 부산일보, 2009-8-15
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[1]
- 임원철, 부산일보, 2009-8-15
- 김희연, 한국경제, 2009-04-24
- 정재형, 한국경제, 2009-04-24
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