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| + | ** 드무아브르의 정리 | ||
2009년 5월 8일 (금) 05:40 판
목차
- 간단한 소개
- 정오각형과 황금비
- 황금삼각형
- 꼭지점의 평면좌표
- 정오각형의 작도
- 재미있는 사실
- 관련된 단원
- 많이 나오는 질문
- 관련된 다른 주제들
- 관련도서 및 추천도서
- 관련된 고교수학 또는 대학수학
- 참고할만한 자료
- 이미지 검색
- 관련기사
간단한 소개#
- 변이 다섯개이며 길이가 모두 같은 다각형
- 정십이면체는 정오각형으로 만들어져 있다.
정오각형과 황금비#
- '황금비' 항목을 먼저 참조
- 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율은 황금비가 된다.
[/pages/3002548/attachments/1344232 180px-Ptolemy_Pentagon.svg.png]
\({b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\)
(증명)
삼각형 ABD에서 선분 AC는 각 A의 이등분선이다.
이는 각 DAC와 각 CAD가 같은 길이를 갖는 두 현 DC의 BC의 원주각이기 때문이다.
AC와 BD의 교점을 E라 하자.
각의 이등분선의 성질에 의해,
AB : AD = BE : DE 즉 \(a : b = b-a : a\) 가 성립한다.
\(b^2 - ab - a^2 = 0\)
\((\frac{b}{a})^2- \frac{b}{a} - 1 =0\)
황금삼각형#
[/pages/3002548/attachments/1344270 317px-Golden_triangle_in_pentagon.svg.png]
- 삼각형 변의 길이 비율은 황금비가 됨.
꼭지점의 평면좌표#
- 정오각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우
- 방정식 \(z^4+z^3+z^2+z^1+1=0\)은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.
- 양변을 \(z^2\)으로 나누면, \(z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0\) 을 얻게됨.
\(y=z+\frac{1}{z}\) 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.
\(z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2+(z+\frac{1}{z})-1=y^2+y-1=0\)
방정식을 풀면,
\(y^2+y-1=0\)
\(y=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)
\(z^2-yz+1=0\)
\(z=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}\)
을 얻게 됨.
따라서 x는 유리수에서 시작하여, 사칙연산에 제곱근을 사용하여 표현가능하고, 따라서 자와 컴파스를 활용하여 작도가능.
- 복소평면상에서 \(z\) 의 \(x\) 좌표는 \(\frac{-1+\sqrt{5}}{4} , \frac{-1-\sqrt{5}}{4}\) 로 주어짐.
정오각형의 작도#
- 정오각형의 작도
- Youtube
재미있는 사실#
- 미국의 국방성인 펜타곤은 정오각형 모양으로 지어졌음.
- 사과를 가로단면으로 자르면, 오각형 모양을 볼 수 있음.
- 사과는 별을 싣고… , 피타고라스의 창, 2007-12-23
- 신권인 5만원에는 오각형이 숨어 있음.
- 신권, 16가지 위조방지 `첨단옷` 입었다
- 디지털타임스, 2009-2-25
- 신권, 16가지 위조방지 `첨단옷` 입었다
- 살바도르 달리의 그림 '최후의 만찬'에는 정십이면체가 등장함
관련된 단원#
많이 나오는 질문#
- 네이버 지식인
관련된 다른 주제들#
관련도서 및 추천도서#
관련된 고교수학 또는 대학수학#
- 복소수
- 드무아브르의 정리
참고할만한 자료#
- 한글 위키피디아
이미지 검색#
- http://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=Special%3ASearch&search=
- http://images.google.com/images?q=dali+last+supper
- http://www.artchive.com