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2012년 11월 2일 (금) 13:11 판

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정팔면체와 모듈라 연분수

개요

[Duke2005] (9.1) \[u(\tau)={\sqrt{2}q^{1/8} \over 1+ } {q \over 1+q+} {q^2 \over 1+q^2+} {q^3 \over 1+q^3} \cdots=\sqrt{2}q^{1/8}\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^{n})^{(-1)^{n}}=\sqrt{2}q^{1/8}\frac{(-q^{2};q^{2})_{\infty}} {(-q;q^{2})_{\infty}}\]

\[v(\tau)={q^{1/2} \over 1+q + } {q \over 1+q^2+} {q^2 \over 1+q^3} \cdots=q^{1/2}\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^{(\frac{8}{n})}=q^{1/2}\frac{(q^{1};q^{8})_{\infty}(q^{7};q^{8})_{\infty}}{(q^{3};q^{8})_{\infty}(q^{5};q^{8})_{\infty}}\]

두번째 함수는 Ramanujan-Göllnitz-Gordon 연분수 이다
라마누잔-셀베르그 연분수는 \(u(\tau)\) 의 또다른 연분수 전개를 준다

\(u(\tau)={\sqrt{2}q^{1/8} \over 1+ } {q \over 1+q+} {q^2 \over 1+q^2} {q^3 \over 1+q^3} \cdots=\sqrt{2}q^{1/8}\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^{n})^{(-1)^{n}}=\sqrt{2}q^{1/8}\frac{(-q^{2};q^{2})_{\infty}} {(-q;q^{2})_{\infty}}=\sqrt{2}q^{1/8}\frac{(q^{1};q^{4})_{\infty}(q^{3};q^{4})_{\infty}}{(q^{2};q^{4})_{\infty}(q^{2};q^{4})_{\infty}}\)

(증명)

q-series 의 공식 모음

\((-q^2;q^{2})_{n}=\frac{(q^4;q^4)_{n}}{(q^2;q^2)_{n}}=\frac{1}{(q^2;q^4)_{n}}\)

\((-q;q^{2})_{n}=\frac{(-q;q)_{n}}{(-q^{2};q^{2})_{n}}=\frac{(q^{2};q^{2})_{n}(q^{2};q^{2})_{n}}{(q^{4};q^{4})_{n}(q;q)_{n}}=\frac{(q^{2};q^{4})_{n}}{(q^{1};q^{4})_{n}(q^{3};q^{4})_{n}}\)

\((-q^2;q^{2})_{\infty}=\frac{(q^4;q^4)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}=\frac{1}{(q^2;q^4)_{\infty}}\)

\((-q;q^{2})_{\infty}=\frac{(q^{2};q^{2})_{\infty}(q^{2};q^{2})_{\infty}}{(q^{4};q^{4})_{\infty}(q;q)_{\infty}}=\frac{(q^{2};q^{4})_{\infty}}{(q^{1};q^{4})_{\infty}(q^{3};q^{4})_{\infty}}\) ■

Ramanujan-Göllnitz-Gordon continued fraction

Ramanujan-Göllnitz-Gordon 연분수
\(1/v(\tau) \sim 1+q+{q^{2} \over 1+q^{3} + } {q^{4} \over 1+q^{5}+} {q^{6} \over \cdots}=\frac{(q^{3};q^{8})_{\infty}(q^{4};q^{8})_{\infty}(q^{5};q^{8})_{\infty}}{(q^{1};q^{8})_{\infty}(q^{4};q^{8})_{\infty}(q^{7};q^{8})_{\infty}}=\frac{(q^{3};q^{8})_{\infty}(q^{5};q^{8})_{\infty}}{(q^{1};q^{8})_{\infty}(q^{7};q^{8})_{\infty}}\)

eta quotient

\(u(\tau)=\sqrt{2}q^{1/8}\frac{(-q^{2};q^{2})_{\infty}} {(-q;q^{2})_{\infty}}=\sqrt{2}\frac{\eta(\tau)\eta^{2}(4\tau)}{\eta^{3}(2\tau)}\)

(proof)

\(\frac{(-q^{2};q^{2})_{\infty}} {(-q;q^{2})_{\infty}}=\frac{(q^4;q^4)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}\frac{(q^{4};q^{4})_{\infty}(q;q)_{\infty}}{(q^{2};q^{2})_{\infty}(q^{2};q^{2})_{\infty}}\)■

역사

메모

Ramanujan, second notebook p229
Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

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[Duke2005]W. Duke, Continued fractions and modular functions , Bull. Amer. Math. Soc. 42 (2005), 137-162

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 ==개요==
-* '''[Duke2005] '''(9.1)<br><math>u(\tau)={\sqrt{2}q^{1/8} \over 1+ } {q \over 1+q+} {q^2 \over 1+q^2+} {q^3 \over 1+q^3} \cdots=\sqrt{2}q^{1/8}\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^{n})^{(-1)^{n}}=\sqrt{2}q^{1/8}\frac{(-q^{2};q^{2})_{\infty}} {(-q;q^{2})_{\infty}}</math><br><math>v(\tau)={q^{1/2} \over 1+q + } {q \over 1+q^2+} {q^2 \over 1+q^3} } \cdots=q^{1/2}\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^{(\frac{8}{n})}=q^{1/2}\frac{(q^{1};q^{8})_{\infty}(q^{7};q^{8})_{\infty}}{(q^{3};q^{8})_{\infty}(q^{5};q^{8})_{\infty}}</math><br>
+* '''[Duke2005] '''(9.1) :<math>u(\tau)={\sqrt{2}q^{1/8} \over 1+ } {q \over 1+q+} {q^2 \over 1+q^2+} {q^3 \over 1+q^3} \cdots=\sqrt{2}q^{1/8}\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^{n})^{(-1)^{n}}=\sqrt{2}q^{1/8}\frac{(-q^{2};q^{2})_{\infty}} {(-q;q^{2})_{\infty}}</math>
+:<math>v(\tau)={q^{1/2} \over 1+q + } {q \over 1+q^2+} {q^2 \over 1+q^3} \cdots=q^{1/2}\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{n})^{(\frac{8}{n})}=q^{1/2}\frac{(q^{1};q^{8})_{\infty}(q^{7};q^{8})_{\infty}}{(q^{3};q^{8})_{\infty}(q^{5};q^{8})_{\infty}}</math><br>
 *  두번째 함수는 [[Ramanujan-Göllnitz-Gordon 연분수]] 이다<br>
 * [[라마누잔-셀베르그 연분수]]는 <math>u(\tau)</math> 의 또다른 연분수 전개를 준다<br>