"조화 형식(harmonic forms)"의 두 판 사이의 차이

2012년 8월 21일 (화) 16:47 판

M : n 차원 유향 컴팩트 리만 다양체
\(*\) : Hodge * 연산자
- k-form 을 (n-k)-form 으로 보냄
codifferential : k-form 을
- \(\delta=(-1)^{nk+n+1}*d*\)
라플라시안
- \(\Delta=d\delta+\delta d\)
- k-form 을 k-form 으로 보냄
조화형식
- 미분방정식 \(\Delta \alpha=0\)의 해
- 유한차원벡터공간 \(\mathcal H_\Delta^k(M)=\{\alpha\in\Omega^k(M)\mid\Delta\alpha=0\}\) 을 이룸

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 * <math>*</math> : Hodge * 연산자<br>
 ** k-form 을 (n-k)-form 으로 보냄
-*  codifferential : k-form 을<br><math>\delta=(-1)^{nk+n+1}*d*</math><br>
+*  codifferential : k-form 을<br>
-*  라플라시안<br><math>\Delta=d\delta+\delta d</math><br> k-form 을 k-form 으로 보냄<br>
+** <math>\delta=(-1)^{nk+n+1}*d*</math><br>
-*  조화형식<br> 미분방정식 <math>\Delta \alpha=0</math>의 해<br>
+*  라플라시안<br>
+** <math>\Delta=d\delta+\delta d</math>
+**  k-form 을 k-form 으로 보냄<br>
+*  조화형식<br>
+** 미분방정식 <math>\Delta \alpha=0</math>의 해
+**  유한차원벡터공간 <math>\mathcal H_\Delta^k(M)=\{\alpha\in\Omega^k(M)\mid\Delta\alpha=0\}</math> 을 이룸<br>
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 <h5>Hodge 정리</h5>
+* 동형사상 <math>\varphi:\mathcal H_\Delta^k(M)\rightarrow H^k(M)</math>이 존재한다
+<h5>index 정리</h5>
+* <math>\chi(M)=d_e-d_o</math><br>
+** <math>d_e</math> : 짝수 degree를 갖는 조화형식의 차원
+**