"중복조합의 공식 H(n,r)=C(n+r-1,r)"의 두 판 사이의 차이
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* (1 − <em>x</em>)<sup>−1</sup>·(1 − <em>y</em>)<sup>−1</sup> = 1 + (<em>x</em> + <em>y</em>) + (<em>x</em><sup>2</sup> + <em>x·y</em> + <em>y</em><sup>2</sup>) +(<em>x</em><sup>3</sup> + <em>x</em><sup>2</sup><em>·y</em> + <em>x</em><em>y</em><sup>2</sup>+<em>y</em><sup>3</sup>)+... | * (1 − <em>x</em>)<sup>−1</sup>·(1 − <em>y</em>)<sup>−1</sup> = 1 + (<em>x</em> + <em>y</em>) + (<em>x</em><sup>2</sup> + <em>x·y</em> + <em>y</em><sup>2</sup>) +(<em>x</em><sup>3</sup> + <em>x</em><sup>2</sup><em>·y</em> + <em>x</em><em>y</em><sup>2</sup>+<em>y</em><sup>3</sup>)+... | ||
* (1 − <em>x</em>)<sup>−2</sup> = 1 + (<em>x</em> + <em>x</em>) + (<em>x</em><sup>2</sup> + <em>x·x</em> + <em>x</em><sup>2</sup>) + ... | * (1 − <em>x</em>)<sup>−2</sup> = 1 + (<em>x</em> + <em>x</em>) + (<em>x</em><sup>2</sup> + <em>x·x</em> + <em>x</em><sup>2</sup>) + ... | ||
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| + | <math>\frac{1}{(1-x)^n}=\sum_{k=0}^{\infty}H(n,k)x^k=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(a)_k}{k!}x^k=1+ax+\frac{a(a+1)}{2!}x^2+\frac{a(a+1)(a+2)}{3!}x^3+\cdots</math> | ||
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| − | <math>\left\langle \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \right\rangle </math> | + | <math>\sum_{k}\left\langle \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \right\rangle x^k</math> |
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2011년 1월 22일 (토) 09:26 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
- 중복조합
- 주어진 집합의 원소 중에서 뽑되 동일한 원소의 중복을 허용하여 뽑아내는 것
- 1과 2에서 세 개를 취하는 중복조합은 111, 112, 122, 222의 네 가지가 있음.
- n개 중에서 r개를 선택하는 중복조합의 개수를 이라고 쓰자. \(_n C_r = {n\choose r} \)즉, H(2,3)=4.
H(2,3) = C(2+3-1,3)=C(4,3)=4 임을 확인할 수 있다.
- 중복조합의 공식
\(_n H_r=_{n+r-1}C_{r}\)
조합과의 비교
- 조합은 여러 개의 원소 중에서 몇 개를 순서에 관계없이 뽑아내는 것
- 가령 1,2,3,4 네 개의 수 가운데서 세 개씩 뽑아 모은 조합은 123, 124, 134, 234 의 네 가지
- n개 중에서 r개를 선택하는 조합의 개수를 \(_n C_r = {n\choose r} \)로 표현함
- 즉, \(_4 C_3 = {4\choose 3} =4\) 가 됨.
- 일반적으로 \(_n C_r = {n\choose r} = {{n!} \over {r!(n - r)!}}\) 공식을 통해 구할수 있음.
예1
- 증명의 아이디어를 이해하기 위해, H(4,2)의 예를 들어보자
- 1,2,3,4 중에서 뽑는 것으로 하면, 중복해서 두 개를 뽑는 방법은 다음과 같이 열 가지가 있음.
- 11,12,13,14,22,23,24,33,34,44
- 이제 이 중복조합에서 첫번째 것은 내버려 두고, 두번째 수에 1을 더하면 다음과 같은 결과를 얻음.
- 12,13,14,15,23,24,25,34,35,45
- 이것은 1부터 5까지 중에서 2개를 선택하는 방법과 같아짐.
- 그러므로, H(4,2)=C(5,2)
- 또다른 예. H(2,3)의 계산.
- 1,2 중에서 세 가지를 택하는 중복조합은 다음과 같음.
- 111,112,122,222
- 위에서 한 것처럼 첫번째 것은 내버려 두고, 두번째 것에 1, 세번째 것에 2를 더해 보면, 다음을 얻게 됨
- 123,124,134,234
- 이 경우는 1,2,3,4 중에서 세 개를 뽑는 조합과 일치함.
- 그러므로, H(2,3)=C(4,3)
- 특정한 조합과 특정한 중복조합 사이에 일대일대응이 존재하는 것을 보이는 것임.
예2
examples of multiset computation
(n=4, k=18)
set \{a,b,c,d}
multiset \{a, a, a, a, a, a, b, b, c, c, c, d, d, d, d, d, d, d \} (6 as, 2 bs, 3 cs, 7 ds) in this form:
\[\bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \mid \bullet \bullet \mid \bullet \bullet \bullet \mid \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \]
생성함수
- 생성함수
- multiset generating function
- { {}, {x}, {x,x}, {x,x,x}, ... } gives S = 1 + x + x2 + x3 + ... = 1 + xS which is formally S=1/(1-x)
- (1 − x)−1·(1 − y)−1 = 1 + (x + y) + (x2 + x·y + y2) +(x3 + x2·y + xy2+y3)+...
- (1 − x)−2 = 1 + (x + x) + (x2 + x·x + x2) + ...
\(\frac{1}{(1-x)^n}=\sum_{k=0}^{\infty}H(n,k)x^k=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(a)_k}{k!}x^k=1+ax+\frac{a(a+1)}{2!}x^2+\frac{a(a+1)(a+2)}{3!}x^3+\cdots\)
부정방정식에의 응용
- 자연수 r에 대하여, 다음 부정방정식의 \(x_i \geq 0\)인 정수해의 개수를 구해보자
\(x_0+x_1+x_2+\cdots+x_n=r\) - 해의 개수는 n+1개의 원소를 가지고 r개를 뽑는 중복조합의 수와 같다. 즉, 해의 개수는 다음과 같다
\(_{n+1} H_r=_{n+r}C_{r}=_{n+r}C_{n}\)
\(\sum_{k}\left\langle \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \right\rangle x^k\)
http://en.wikipedia.org/wiki/Multiset
http://en.wikipedia.org/wiki/Bose–Einstein_statistcs
재미있는 사실
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