추상대수학

간단한 요약

• 현대대수학의 기본적인 언어이자 대상인, 군, 환, 체의 기본적인 용어를 공부함.
• 갈루아 이론 - 군론을 통해 확장체 혹은 대수방정식의 해가 가진 대칭성을 들여다 봄.

 

선수 과목

• 고교 과정의 다항식 계산
• 기초적인 선형대수학

 

다루는 대상

• 군(group)
  
  • 대칭성을 기술하는 언어
  • 항등원, 역원,
• 환(ring)
  
  • 덧셈, 뺄셈, 곱하기가 가능하며, 덧셈과 곱셈 사이에 분배법칙이 성립.
  • 정수의 집합, 다항식의 집합, n x n 행렬들의 집합
• 체(field)
  
  • 실수, 복소수와 같이 사칙연산이 가능.
  • 곱셈에 교환법칙이 성립하지 않는 경우는 따로 division ring이라고 부름.
     
    

중요한 개념 및 정리

• ideal
• 유한체
• 갈루아 확장체

 

유명한 정리 혹은 재미있는 문제

• 해밀턴의 사원수
• 정17각형의 작도가 가능함을 알 수 있음.
• 3대 작도 불가능 문제를 군론을 통해 해결할 수 있음.
• 5차 이상의 방정식에 근의 공식이 존재하지 않음을 증명.

 

 

 

더 공부하면 좋은 것들

• 가환대수 
• 대수적 정수론

 

 

 

참고할만한 도서 및 자료

• The Evolution of Algebra 1800-1870
  
  • I. G. Bashmakova and A. N. Rudakov
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 3 (Mar., 1995), pp. 266-270
• Galois Theory for Beginners
  
  • John Stillwell
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 1 (Jan., 1994), pp. 22-27
• Niels Hendrik Abel and Equations of the Fifth Degree
  
  • Michael I. Rosen
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 495-505
• Field Theory: From Equations to Axiomatization, Part I
  
  • Israel Kleiner
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 7 (Aug. - Sep., 1999), pp. 677-684
• Field Theory: From Equations to Axiomatization, Part II
  
  • Israel Kleiner
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 9 (Nov., 1999), pp. 859-863
• The Genesis of the Abstract Ring Concept
  
  • Israel Kleiner
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 103, No. 5 (May, 1996), pp. 417-424
• What Are Algebraic Integers and What Are They For?
  
  • John Stillwell
  • The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 3 (Mar., 1994), pp. 266-270