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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
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<h5>개요</h5>
 
  
 
* 원뿔의 단면에서 얻어지는 원뿔곡선의 하나
 
* 원뿔의 단면에서 얻어지는 원뿔곡선의 하나
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* 타원위의 점들은 어떤 두 점(초점)에서의 거리의 합이 일정하다
 
* 타원위의 점들은 어떤 두 점(초점)에서의 거리의 합이 일정하다
  
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<h5>타원의 방정식</h5>
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==타원의 방정식==
  
 
* 타원은 이차곡선 <math>ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0</math>의 판별식이 <math>\Delta=b^2-4ac<0</math>인 경우
 
* 타원은 이차곡선 <math>ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0</math>의 판별식이 <math>\Delta=b^2-4ac<0</math>인 경우
 
*  타원의 방정식의 표준형<br>
 
*  타원의 방정식의 표준형<br>
 
** <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math><br>
 
** <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math><br>
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** <math>a=b</math> 이면 원이다. <math>a>b</math> 이면 가로( 축)로 납작한 타원, <math>a<b</math> 이면 세로로 길쭉한 타원이 된다.
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** <math>a=b</math> 이면 원이다. <math>a>b</math> 이면 가로( 축)로 납작한 타원, <math>a<b</math> 이면 세로로 길쭉한 타원이 된다.
 
** 두 축 중 긴 것을 장축, 짧은 것을 단축이라 한다.
 
** 두 축 중 긴 것을 장축, 짧은 것을 단축이라 한다.
  
 
* 평행이동, 회전변환에 의해서도 변형해도 여전히 타원이 얻어짐.
 
* 평행이동, 회전변환에 의해서도 변형해도 여전히 타원이 얻어짐.
  
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==타원 둘레의 길이==
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* [[타원 둘레의 길이]] 항목 참조
 
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==타원내부의 면적==
  
 
*  다음과 같이 주어진 타원 내부의 면적은 <math>\pi a b</math> 이다<br><math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1</math><br>
 
*  다음과 같이 주어진 타원 내부의 면적은 <math>\pi a b</math> 이다<br><math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1</math><br>
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<math>x=aX</math>, <math>y=bY</math> 로 치환하면, 내부의 면적은 다음 적분으로 주어지게 된다.
 
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<math>ab \int\int_{{X^2}+{Y^2}\leq 1}  dXdY</math>
 
  
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따라서 면적은 <math>\pi a b</math>.■
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==배우기 전에 알고 있어야 하는 것들==
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<h5>배우기 전에 알고 있어야 하는 것들</h5>
 
  
 
*  다항식<br>
 
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* 원의 방정식
 
* 원의 방정식
  
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<h5>중요한 개념 및 정리</h5>
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==중요한 개념 및 정리==
  
 
* 타원 <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (0<b<a)</math>을 고려하자.
 
* 타원 <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (0<b<a)</math>을 고려하자.
 
* 초점 <math>f=\sqrt{a^2-b^2}</math>라 두면, <math>(\pm f,0)</math>
 
* 초점 <math>f=\sqrt{a^2-b^2}</math>라 두면, <math>(\pm f,0)</math>
 
*  이심률 (eccentricity)<br>
 
*  이심률 (eccentricity)<br>
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**  타원이 원에서 멀어지는 것을 재는 양 .<br> 이심률은 <math>e=\frac{f}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}</math>로 주어진다<br>
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<h5>재미있는 문제</h5>
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==재미있는 문제==
  
 
* 타원 <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math> 에 외접하는 사각형의 최소 넓이는  
 
* 타원 <math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1</math> 에 외접하는 사각형의 최소 넓이는  
 
* 빛의 반사성 : 한 초점에서 나온 빛은 타원 벽에서 반사되어 다른 초점으로 들어간다.
 
* 빛의 반사성 : 한 초점에서 나온 빛은 타원 벽에서 반사되어 다른 초점으로 들어간다.
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* 매개변수표현
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*  타원과 포물선  가 직교하기 위해서는  를 만족하면 된다.<br>
 
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* [[타원과 인간]]
 
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* [[케플러의 법칙, 행성운동과 타원|행성운동과 타원]]
 
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==관련된 대학교 수학==
  
 
* [[타원곡선]]
 
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* [[타원적분|타원적분, 타원함수, 타원곡선]]
 
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==블로그==
  
 
* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/16/744 미적분과 인문계(3) : 타원 - 자연, 예술, 인간] (피타고라스의 창)<br>
 
* [http://bomber0.byus.net/index.php/2008/09/16/744 미적분과 인문계(3) : 타원 - 자연, 예술, 인간] (피타고라스의 창)<br>
  
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<h5>동영상 강좌</h5>
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==동영상 강좌==
  
 
*  타원 그리는 방법<br>
 
*  타원 그리는 방법<br>
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2012년 9월 8일 (토) 14:44 판

개요

  • 원뿔의 단면에서 얻어지는 원뿔곡선의 하나
  • 이차곡선의 하나이다
  • 타원위의 점들은 어떤 두 점(초점)에서의 거리의 합이 일정하다



타원의 방정식

  • 타원은 이차곡선 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\)의 판별식이 \(\Delta=b^2-4ac<0\)인 경우
  • 타원의 방정식의 표준형
    • \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
    • \(a=b\) 이면 원이다. \(a>b\) 이면 가로( 축)로 납작한 타원, \(a<b\) 이면 세로로 길쭉한 타원이 된다.
    • 두 축 중 긴 것을 장축, 짧은 것을 단축이라 한다.
  • 평행이동, 회전변환에 의해서도 변형해도 여전히 타원이 얻어짐.


[/pages/1999042/attachments/2573983 ellipse.jpg]

\(\frac{1}{4} \left(\frac{\sqrt{3} x}{2}+\frac{y}{2}\right)^2+\left(-\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3} y}{2}\right)^2=1\)



타원 둘레의 길이



타원내부의 면적

  • 다음과 같이 주어진 타원 내부의 면적은 \(\pi a b\) 이다
    \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1\)
  • 타원의 넓이 항목 참조



배우기 전에 알고 있어야 하는 것들

  • 다항식
    • 일차식과 이차식
  • 원의 방정식



중요한 개념 및 정리

  • 타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (0<b<a)\)을 고려하자.
  • 초점 \(f=\sqrt{a^2-b^2}\)라 두면, \((\pm f,0)\)
  • 이심률 (eccentricity)
    • 타원이 원에서 멀어지는 것을 재는 양 .
      이심률은 \(e=\frac{f}{a}=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}\)로 주어진다



재미있는 문제

  • 타원 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 에 외접하는 사각형의 최소 넓이는
  • 빛의 반사성 : 한 초점에서 나온 빛은 타원 벽에서 반사되어 다른 초점으로 들어간다.
  • 매개변수표현
  • 타원과 포물선 가 직교하기 위해서는 를 만족하면 된다.
    • [/pages/1999042/attachments/958566 2.gif]



관련된 개념 및 나중에 더 배우게 되는 것들



관련있는 다른 과목

  • 물리
    • 행성운동
    • 지구는 태양의 주위를, 태양을 하나의 초점으로 하는 타원궤도로 돌고 있음.
  • 미술
    • 원근법
    • 원을 바르게 그리려면, 타원으로 그려야 함.

[/pages/1999042/attachments/906700 ellipse1.JPG]


관련된 대학교 수학



블로그


동영상 강좌

  • 타원 그리는 방법
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