"타원곡선의 주기"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> |
| + | |||
| + | * [[타원곡선의 주기]]<br> | ||
| 5번째 줄: | 7번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5> |
| − | |||
| − | |||
| 13번째 줄: | 13번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">정의</h5> |
| − | * | + | * 타원곡선 <math>y^2=(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)</math>의 주기는 두 복소수 <math>\omega_1,\omega_2</math>에 의해 생성되는 2차원 격자 <math>\Lambda=\{m_1\omega_1+m_2\omega_2)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}</math>이다<br><math>\omega_1=2\int_{e_1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)}}</math><br><math>\omega_2=2\int_{e_2}^{e_1}\frac{dx}{\sqrt{(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)}}</math><br> |
| 21번째 줄: | 21번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 2em; margin | + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">예</h5> |
* 타원곡선 <math>y^2=x^3-x</math>의 경우 ([[타원곡선 y²=x³-x|타원곡선 y^2=x^3-x]] 에서 가져옴)<br><math>e_1=1, e_2=0, e_3=-1</math>로 두자<br><math>\omega_1=2\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3-x}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots</math><br><math>\omega_2=2i\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=2i\int_{\infty}^1\frac{-dy}{\sqrt{y^3-y}}=i\omega_{1}</math><br> | * 타원곡선 <math>y^2=x^3-x</math>의 경우 ([[타원곡선 y²=x³-x|타원곡선 y^2=x^3-x]] 에서 가져옴)<br><math>e_1=1, e_2=0, e_3=-1</math>로 두자<br><math>\omega_1=2\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3-x}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots</math><br><math>\omega_2=2i\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=2i\int_{\infty}^1\frac{-dy}{\sqrt{y^3-y}}=i\omega_{1}</math><br> | ||
| 31번째 줄: | 31번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 2em; margin | + | <h5 style="line-height: 2em; margin: 0px;">1종타원적분과의 관계</h5> |
* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]<br> | * [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]<br> | ||
| 39번째 줄: | 39번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">1종완전타원적분과 타원곡선의 주기1</h5> |
<math>\int_{c}^{b}\frac{dt}{\sqrt{(a-t)(b-t)(t-c)}}=\frac{2}{\sqrt{a-c}}K(\sqrt{\frac{b-c}{a-c}})</math> | <math>\int_{c}^{b}\frac{dt}{\sqrt{(a-t)(b-t)(t-c)}}=\frac{2}{\sqrt{a-c}}K(\sqrt{\frac{b-c}{a-c}})</math> | ||
| 47번째 줄: | 47번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">일종완전타원적분과 타원곡선의 주기2</h5> |
<math>K(k)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x (x^2 - (4k^2-2)x + 1)}}=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx</math> | <math>K(k)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x (x^2 - (4k^2-2)x + 1)}}=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx</math> | ||
| 81번째 줄: | 81번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">재미있는 사실</h5> |
| 92번째 줄: | 92번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">역사</h5> |
| 104번째 줄: | 104번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">메모</h5> |
| 110번째 줄: | 110번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련된 항목들</h5> |
* [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]<br> | * [[제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)]]<br> | ||
| 119번째 줄: | 119번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">수학용어번역</h5> |
* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | * 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q= | ||
| 132번째 줄: | 132번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">사전 형태의 자료</h5> |
* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
| 138번째 줄: | 138번째 줄: | ||
* http://www.wolframalpha.com/input/?i= | * http://www.wolframalpha.com/input/?i= | ||
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | * [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions] | ||
| − | * [http://www.research.att.com/ | + | * [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br> |
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q= | ||
| 145번째 줄: | 145번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련논문</h5> |
* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | * http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query= | ||
| 155번째 줄: | 155번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련도서</h5> |
* 도서내검색<br> | * 도서내검색<br> | ||
| 169번째 줄: | 169번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">관련기사</h5> |
* 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | * 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br> | ||
| 180번째 줄: | 180번째 줄: | ||
| − | <h5 style="line-height: 3.428em; margin | + | <h5 style="line-height: 3.428em; margin: 0px; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">블로그</h5> |
* 구글 블로그 검색<br> | * 구글 블로그 검색<br> | ||
2011년 3월 14일 (월) 18:18 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
정의
- 타원곡선 \(y^2=(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)\)의 주기는 두 복소수 \(\omega_1,\omega_2\)에 의해 생성되는 2차원 격자 \(\Lambda=\{m_1\omega_1+m_2\omega_2)|m_1,m_2\in\mathbb{Z}\}\)이다
\(\omega_1=2\int_{e_1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)}}\)
\(\omega_2=2\int_{e_2}^{e_1}\frac{dx}{\sqrt{(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)}}\)
예
- 타원곡선 \(y^2=x^3-x\)의 경우 (타원곡선 y^2=x^3-x 에서 가져옴)
\(e_1=1, e_2=0, e_3=-1\)로 두자
\(\omega_1=2\int_{1}^{\infty}\frac{dx}{\sqrt{x^3-x}}=\frac{\Gamma(\frac{1}{2})\Gamma(\frac{1}{4})}{\Gamma(\frac{3}{4})}=5.24\cdots\)
\(\omega_2=2i\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x-x^3}}=2i\int_{\infty}^1\frac{-dy}{\sqrt{y^3-y}}=i\omega_{1}\)
1종타원적분과의 관계
1종완전타원적분과 타원곡선의 주기1
\(\int_{c}^{b}\frac{dt}{\sqrt{(a-t)(b-t)(t-c)}}=\frac{2}{\sqrt{a-c}}K(\sqrt{\frac{b-c}{a-c}})\)
일종완전타원적분과 타원곡선의 주기2
\(K(k)=\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{x (x^2 - (4k^2-2)x + 1)}}=\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}\,dx\)
(증명)
\(k=\cos \alpha\) 로 두자.
\(K(\cos\alpha)=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1 - \cos^2 \alpha \sin^2 \theta }}\)
\(=\int_{0}^{1} \frac{2dt}{\sqrt{t^4 - 2(2\cos^2 \alpha - 1)t^2 + 1}}\) (\(t =\tan (\theta/2) \)로 치환)
\(=\int_{1}^{\infty} \frac{2dx}{\sqrt{x^4 - 2x^2 \cos 2\alpha + 1}}\) (\(x=\frac{1}{t}\) 로 치환)
\(=\int_{1}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 - 2u \cos 2\alpha + 1)}}\) (\(u=x^2\)로 치환)
한편, \(u=\frac{1}{v}\) 치환을 통하여
\(\int_{1}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 - 2u \cos 2\alpha + 1)}}=\int_{0}^{1} \frac{dv}{\sqrt{v (v^2 - 2v \cos 2\alpha + 1)}}\)
임을 보일 수 있으므로,
\(2K(\cos\alpha)=\int_{0}^{\infty} \frac{du}{\sqrt{u (u^2 - 2u \cos 2\alpha + 1)}}\)
\(4K(\cos\alpha)\)는 타원곡선 \(y^2=x(x-e^{2i\alpha})(x-e^{-2i\alpha})=x(x^2 - 2x \cos 2\alpha + 1)}\)의 주기임을 알 수 있다. ■
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
관련도서
- 도서내검색
- 도서검색
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)