"타자의 타율과 연분수"의 두 판 사이의 차이

수학노트
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<h5>287타석을 얻는 법</h5>
 
<h5>287타석을 얻는 법</h5>
  
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* 연분수 근사를 해보자.
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* [[연분수와 유리수 근사|연분수]] 근사를 해보자.
 
*  33449/100000 에 대한 연분수 전개 [0; 2, 1, 95, 2, 1, 1, 7, 9]<br><math>\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{96}{287},\cdots</math><br><math>\frac{96}{287}=0.334494\cdots </math><br>
 
*  33449/100000 에 대한 연분수 전개 [0; 2, 1, 95, 2, 1, 1, 7, 9]<br><math>\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{96}{287},\cdots</math><br><math>\frac{96}{287}=0.334494\cdots </math><br>
 
* 따라서 287타수 96안타면 타율 0.334가 가능
 
* 따라서 287타수 96안타면 타율 0.334가 가능
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자연수 <math>q</math> 와 <math>p<287</math> 에 대해서, 다음 부등식을 만족시킴을 보이면 된다.
 
자연수 <math>q</math> 와 <math>p<287</math> 에 대해서, 다음 부등식을 만족시킴을 보이면 된다.
  
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<math>|\frac{q}{p}-0.334|>0.0005</math>
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0.0005" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D-0.334%7C%3E0.0005">
  
 
 
 
 
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<math>3\leq p<287</math> 인 경우에,
 
<math>3\leq p<287</math> 인 경우에,
  
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<math>|{q}-\frac{334p}{10000}|>\frac{p}{2000}</math>
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\frac{p}{2000}" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%7Bq%7D-%5Cfrac%7B334p%7D%7B10000%7D%7C%3E%5Cfrac%7Bp%7D%7B2000%7D">
  
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<math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{334p}{10000}+\frac{p}{3}|>\frac{p}{2000}</math>
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\frac{p}{2000}" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%7Bq%7D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B334p%7D%7B10000%7D%2B%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%7C%3E%5Cfrac%7Bp%7D%7B2000%7D">
  
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<math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|>\frac{p}{2000}</math>
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\frac{p}{2000}" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%7Bq%7D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2p%7D%7B3000%7D%7C%3E%5Cfrac%7Bp%7D%7B2000%7D">
  
 
임을 보이면 된다.
 
임을 보이면 된다.
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<math>p=3k</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능.
 
<math>p=3k</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능.
  
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<math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{2}{1000}k|\geq\frac{2k}{1000}>\frac{3k}{2000}=\frac{p}{2000}</math>
+
\frac{3k}{2000}=\frac{p}{2000}" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%7Bq%7D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2p%7D%7B3000%7D%7C%3D%7C%7Bq%7D-k-%5Cfrac%7B2%7D%7B1000%7Dk%7C%5Cgeq%5Cfrac%7B2k%7D%7B1000%7D%3E%5Cfrac%7B3k%7D%7B2000%7D%3D%5Cfrac%7Bp%7D%7B2000%7D">
  
 
<math>p=3k+1</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능.
 
<math>p=3k+1</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능.
  
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<math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}-\frac{2}{3000}|\geq \frac{1}{3}+ \frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}+\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}</math>
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\frac{3k}{2000}+\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%7Bq%7D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2p%7D%7B3000%7D%7C%3D%7C%7Bq%7D-k-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2k%7D%7B1000%7D-%5Cfrac%7B2%7D%7B3000%7D%7C%5Cgeq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2B%20%5Cfrac%7B2k%7D%7B1000%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3000%7D%3E%5Cfrac%7B3k%7D%7B2000%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2000%7D%3D%5Cfrac%7Bp%7D%7B2000%7D">
  
 
<math>p=3k-1</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능.
 
<math>p=3k-1</math> 꼴인 경우, <math>k=1,2,\cdots,95</math> 가 가능.
  
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<math>|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k+\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}|\geq \frac{1}{3}- \frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}-\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}</math>
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\frac{3k}{2000}-\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%7Bq%7D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2p%7D%7B3000%7D%7C%3D%7C%7Bq%7D-k%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2k%7D%7B1000%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3000%7D%7C%5Cgeq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-%20%5Cfrac%7B2k%7D%7B1000%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3000%7D%3E%5Cfrac%7B3k%7D%7B2000%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2000%7D%3D%5Cfrac%7Bp%7D%7B2000%7D">
  
 
 
 
 
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그러므로 <math>3\leq p<287</math> 인 경우, 모든 자연수 <math>q</math> 에 대하여 다음 부등식은 참이다.
 
그러므로 <math>3\leq p<287</math> 인 경우, 모든 자연수 <math>q</math> 에 대하여 다음 부등식은 참이다.
  
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<math>|{q}-\frac{334}{10000}p|>\frac{p}{2000}</math>  (증명끝)
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\frac{p}{2000}" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%7Bq%7D-%5Cfrac%7B334%7D%7B10000%7Dp%7C%3E%5Cfrac%7Bp%7D%7B2000%7D">  (증명끝)
  
 
 
 
 
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<h5>재미있는 사실</h5>
 
<h5>재미있는 사실</h5>
  
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* 통산
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* [http://www.statiz.co.kr/index.php?mid=stat&re=0&ys=1982&ye=2008&se=0&te=&tm=&ty=0&qu=auto&po=0&as=&ae=&hi=&un=&pl=&da=1&o1=AVG&o2=TPA&de=1&lr=off&tr=off&cv=&ml=1&si=&cn=AVG%2C0.320%2C%2CRBI%2C%2C&sn=100 한국프로야구통산3할3푼사리 달성한 타자]<br>
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** [http://www.statiz.co.kr/ 스탯티즈] 검색결과
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* 1982년 OB 신경식 3할3푼4리(98/293)
 
*  1999년 한화 이영우가 3할3푼4리 (142/425)<br>
 
*  1999년 한화 이영우가 3할3푼4리 (142/425)<br>
 
** http://www.statiz.co.kr/index.php?mid=player&name=%EC%9D%B4%EC%98%81%EC%9A%B0&x=0&y=0
 
** http://www.statiz.co.kr/index.php?mid=player&name=%EC%9D%B4%EC%98%81%EC%9A%B0&x=0&y=0
 +
*  2000년 한화 데이비스 3할3푼4리 (140/419)<br>
 
*  2002년 마쓰이 히데끼가 일본리그에서 3할3푼4리 달성<br>
 
*  2002년 마쓰이 히데끼가 일본리그에서 3할3푼4리 달성<br>
 
** http://japaneseballplayers.com/en/player.php?id=matsui
 
** http://japaneseballplayers.com/en/player.php?id=matsui

2009년 7월 15일 (수) 10:10 판

문제

타자 타율이 0.334면, 타자는 최소 몇 타수가 필요한가?

  • 타율계산은 안타/타수에서 소수 넷째자리에서 반올림

 

 

287타석을 얻는 법
  • 연분수 근사를 해보자.
  • 33449/100000 에 대한 연분수 전개 [0; 2, 1, 95, 2, 1, 1, 7, 9]
    \(\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{96}{287},\cdots\)
    \(\frac{96}{287}=0.334494\cdots \)
  • 따라서 287타수 96안타면 타율 0.334가 가능

 

  • 참고 : 33351/100000 에 대한 연분수 전개 [0; 2, 1, 628, 3, 1, 3, 1, 2]
  • 629/1886 = 0.33351007423117707
  • 연분수 계산기 Continued Fraction Calculator 참조

 

286타수 이하에서는 불가능함을 보이기

자연수 \(q\) 와 \(p<287\) 에 대해서, 다음 부등식을 만족시킴을 보이면 된다.

0.0005" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%5Cfrac%7Bq%7D%7Bp%7D-0.334%7C%3E0.0005">

 

(증명)

\(3\leq p<287\) 인 경우에,

\frac{p}{2000}" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%7Bq%7D-%5Cfrac%7B334p%7D%7B10000%7D%7C%3E%5Cfrac%7Bp%7D%7B2000%7D">

\frac{p}{2000}" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%7Bq%7D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B334p%7D%7B10000%7D%2B%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D%7C%3E%5Cfrac%7Bp%7D%7B2000%7D">

\frac{p}{2000}" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%7Bq%7D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2p%7D%7B3000%7D%7C%3E%5Cfrac%7Bp%7D%7B2000%7D">

임을 보이면 된다.

\(|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|\)

의 최소값에 대하여 생각해 보자.

\(p=3k\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.

\frac{3k}{2000}=\frac{p}{2000}" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%7Bq%7D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2p%7D%7B3000%7D%7C%3D%7C%7Bq%7D-k-%5Cfrac%7B2%7D%7B1000%7Dk%7C%5Cgeq%5Cfrac%7B2k%7D%7B1000%7D%3E%5Cfrac%7B3k%7D%7B2000%7D%3D%5Cfrac%7Bp%7D%7B2000%7D">

\(p=3k+1\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.

\frac{3k}{2000}+\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%7Bq%7D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2p%7D%7B3000%7D%7C%3D%7C%7Bq%7D-k-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2k%7D%7B1000%7D-%5Cfrac%7B2%7D%7B3000%7D%7C%5Cgeq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D%2B%20%5Cfrac%7B2k%7D%7B1000%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3000%7D%3E%5Cfrac%7B3k%7D%7B2000%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2000%7D%3D%5Cfrac%7Bp%7D%7B2000%7D">

\(p=3k-1\) 꼴인 경우, \(k=1,2,\cdots,95\) 가 가능.

\frac{3k}{2000}-\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%7Bq%7D-%5Cfrac%7Bp%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2p%7D%7B3000%7D%7C%3D%7C%7Bq%7D-k%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7B2k%7D%7B1000%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3000%7D%7C%5Cgeq%20%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D-%20%5Cfrac%7B2k%7D%7B1000%7D%2B%5Cfrac%7B2%7D%7B3000%7D%3E%5Cfrac%7B3k%7D%7B2000%7D-%5Cfrac%7B1%7D%7B2000%7D%3D%5Cfrac%7Bp%7D%7B2000%7D">

 

그러므로 \(3\leq p<287\) 인 경우, 모든 자연수 \(q\) 에 대하여 다음 부등식은 참이다.

\frac{p}{2000}" src="http://eq.springnote.com/tex_image?source=%7C%7Bq%7D-%5Cfrac%7B334%7D%7B10000%7Dp%7C%3E%5Cfrac%7Bp%7D%7B2000%7D">  (증명끝)

 

 

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