"파울리 방정식"의 두 판 사이의 차이

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<h5>파울리</h5>
 
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<math>\mathbf{p}-e\mathbf{A}</math> 를 <math>\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A})</math> 로 바꾸면, 파울리 방정식을 얻는다
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*  파울리는 위의 슈뢰딩거 방정식에서 <math>\mathbf{p}-e\mathbf{A}</math> 를 <math>\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A})</math> 로 바꾸어, 다음 방정식을 얻는다<br><math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle =\left[ \frac{1}{2m}(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2 + e \phi \right] |\psi\rangle </math><br><math>i \hbar \begin{pmatrix} \frac{\displaystyle \partial \psi_0 }{\displaystyle \partial t} \\[6pt] \frac{\displaystyle \partial \psi_1 }{\displaystyle \partial t} \end{pmatrix} =\left[ \frac{1}{2m} \left( \sum_{n=1}^3 \left(\sigma_n \left( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x_n} - e A_n\right)\right) \right) ^2 + e \phi \right] \begin{pmatrix} \psi_0 \\ \psi_1 \end{pmatrix} </math><br>
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* <math>(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2=\vec{\pi}^2-\hbar e(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{B})</math><br> (증명)<br> 일반적으로<br><math>(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{X})(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{Y})=\mathbf{X}\cdot \mathbf{Y}+i \vec{\sigma}\cdot \mathbf{X}\times \mathbf{Y}</math> 이 성립한다.<br>  <br>
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<math>i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle =\left[ \frac{1}{2m}(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2 + e \phi \right] |\psi\rangle </math>
 
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<math>i \hbar \begin{pmatrix} \frac{\displaystyle \partial \psi_0 }{\displaystyle \partial t} \\[6pt] \frac{\displaystyle \partial \psi_1 }{\displaystyle \partial t} \end{pmatrix} =\left[ \frac{1}{2m} \left( \sum_{n=1}^3 \left(\sigma_n \left( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x_n} - e A_n\right)\right) \right) ^2 + e \phi \right] \begin{pmatrix} \psi_0 \\ \psi_1 \end{pmatrix} </math>
 
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<math>(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2=\vec{\pi}^2-\hbar e(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{B})</math>
 
  
 
 
 
 

2012년 3월 5일 (월) 06:18 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 전자의 스핀과 전자기장의 상호작용을 고려한 슈뢰딩거 방정식 의 변형
  • 슈뢰딩거 방정식의 linearization 을 통해 유도할 수 있다
  • 파울리 행렬 이 등장한다

 

 

전자기장에서의 슈뢰딩거 방정식
  • 다음과 같이 주어진 전자기장을 생각하자
    • 벡터 포텐셜 \(\mathbf{A}(x,y,z,t)=(A_{x},A_{y},A_{z})\)
    • 스칼라 포텐셜 \(\phi(x,y,z,t)\) 
    • 맥스웰 방정식 참조
  • 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같이 쓰여진다
     
     \(i\hbar\frac{\partial \psi}{\partial t} =\left[ \frac{1}{2m}(\mathbf{p}-e\mathbf{A})^2+e\phi \right]\psi\)
     

 

 

파울리
  • 파울리는 위의 슈뢰딩거 방정식에서 \(\mathbf{p}-e\mathbf{A}\) 를 \(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A})\) 로 바꾸어, 다음 방정식을 얻는다
    \(i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\psi\rangle =\left[ \frac{1}{2m}(\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2 + e \phi \right] |\psi\rangle \)
    \(i \hbar \begin{pmatrix} \frac{\displaystyle \partial \psi_0 }{\displaystyle \partial t} \\[6pt] \frac{\displaystyle \partial \psi_1 }{\displaystyle \partial t} \end{pmatrix} =\left[ \frac{1}{2m} \left( \sum_{n=1}^3 \left(\sigma_n \left( - i \hbar \frac{\partial}{\partial x_n} - e A_n\right)\right) \right) ^2 + e \phi \right] \begin{pmatrix} \psi_0 \\ \psi_1 \end{pmatrix} \)
  • \((\vec{\sigma}\cdot(\mathbf{p} - e \mathbf{A}))^2=\vec{\pi}^2-\hbar e(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{B})\)
    (증명)
    일반적으로
    \((\vec{\sigma}\cdot \mathbf{X})(\vec{\sigma}\cdot \mathbf{Y})=\mathbf{X}\cdot \mathbf{Y}+i \vec{\sigma}\cdot \mathbf{X}\times \mathbf{Y}\) 이 성립한다.
     

 

 

\(\underbrace{i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\varphi_\pm\rangle = \left( \frac{( \bold{p} -e \bold A)^2}{2 m} + e \phi \right) \hat 1 \bold |\varphi_\pm\rangle }_\mathrm{Schr\ddot{o}dinger~equation} - \underbrace{\frac{e \hbar}{2m}\boldsymbol{\sigma} \cdot \bold B \bold |\varphi_\pm\rangle }_\text{Stern Gerlach term}\)

 

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