"파이 π는 무리수이다"의 두 판 사이의 차이
| 59번째 줄: | 59번째 줄: | ||
<math>\int_0^1x^j \sin \pi x\,dx </math>에 의하여, | <math>\int_0^1x^j \sin \pi x\,dx </math>에 의하여, | ||
| − | <math>\int_{0}^{1}P_n(x)\sin x\,dx=\frac{A_{n}}{B_{n}}</math> 는 0이 아닌 유리수가 된다. <math>P_{n}(x)</math>는 n차 다항식이므로, <math> | + | <math>\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{A_{n}}{B_{n}}</math> 는 0이 아닌 유리수가 된다. <math>P_{n}(x)</math>는 n차 다항식이므로, <math>a^{n+1}</math>을 <math>A_{n}/B_{n}</math>의 양변에 곱하면, 자연를 얻는다. |
| − | 즉, | + | 즉, <math>0<|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx|</math> 는 자연수이다. 한편, |
| − | + | <math>|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin x\,dx|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|\leq |a^{n+1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\pi^{n} \,dx|</math> | |
| + | |||
| + | 우변은 | ||
2010년 7월 12일 (월) 20:45 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
관찰1
\(\int_0^1 x \sin \pi x\,dx = \frac{1}{\pi}\)
\(\int_0^1x^2 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-4}{\pi^3}\)
\(\int_0^1x^3 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-6}{\pi^3}\)
\(\int_0^1x^4 \sin \pi x\,dx = \frac{48-12 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)
\(\int_0^1x^5 \sin \pi x\,dx = \frac{120-20 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)
\(\int_0^1x^6 \sin \pi x\,dx = \frac{-1440+360\pi^2-30 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)
\(\int_0^1x^7 \sin \pi x\,dx = \frac{-5040+840\pi^2-42 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)
관찰2
- 르장드르 다항식
\(P_n(x) = \frac{1}{n!} {d^n \over dx^n } \left[ x^{n}(1-x)^n \right]\)
(정리)
일반적인 함수 \(f\)에 대하여, 다음이 성립한다.
\(\int_{0}^{1}P_n(x)f(x)\,dx=-\int_{0}^{1}P_{n-1}(x)f^{(1)}(x)\,dx=\cdots=(-1)^{n}\int_{0}^{1}P_{0}(x)f^{(n)}(x)\,dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}(x^{n}(1-x)^n)f^{(n)}\,dx\)
(증명)
부분적분 ■
π는 무리수임의 증명
π는 무리수, 즉 \(\pi=a/b\) 이라고 가정하자.
\(\int_0^1x^j \sin \pi x\,dx \)에 의하여,
\(\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{A_{n}}{B_{n}}\) 는 0이 아닌 유리수가 된다. \(P_{n}(x)\)는 n차 다항식이므로, \(a^{n+1}\)을 \(A_{n}/B_{n}\)의 양변에 곱하면, 자연를 얻는다.
즉, \(0<|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx|\) 는 자연수이다. 한편,
\(|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin x\,dx|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|\leq |a^{n+1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\pi^{n} \,dx|\)
우변은
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://planetmath.org/encyclopedia/PiAndPi2AreIrrational.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)
- Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231
- A simple proof that $\pi$ is irrational
- Ivan Niven, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 509.
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
관련도서
- 도서내검색
- 도서검색
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)