"파이 π는 무리수이다"의 두 판 사이의 차이
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5> | ||
| + | |||
| + | * [[파이 π는 무리수이다]] | ||
| 72번째 줄: | 74번째 줄: | ||
<math>|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx|</math> 는 자연수일 수 없다. 모순. 따라서 π는 무리수이다. ■ | <math>|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx|</math> 는 자연수일 수 없다. 모순. 따라서 π는 무리수이다. ■ | ||
| + | |||
| + | |||
| 144번째 줄: | 148번째 줄: | ||
** <br> | ** <br> | ||
** Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231 | ** Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231 | ||
| − | * [http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28199705%29104%3A5%3C439%3AOLPOTI%3E2.0.CO%3B2-7 On Lambert's Proof of the Irrationality of Pi] | + | * [http://links.jstor.org/sici?sici=0002-9890%28199705%29104%3A5%3C439%3AOLPOTI%3E2.0.CO%3B2-7 On Lambert's Proof of the Irrationality of Pi]<br><br> |
** M. Laczkovich, The American Mathematical Monthly, Vol. 104, No. 5 (May, 1997), pp. 439-443 | ** M. Laczkovich, The American Mathematical Monthly, Vol. 104, No. 5 (May, 1997), pp. 439-443 | ||
* [http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1947-08821-2 A simple proof that $\pi$ is irrational]<br> | * [http://dx.doi.org/10.1090/S0002-9904-1947-08821-2 A simple proof that $\pi$ is irrational]<br> | ||
2011년 1월 1일 (토) 13:10 판
이 항목의 스프링노트 원문주소
개요
관찰1
\(\int_0^1 x \sin \pi x\,dx = \frac{1}{\pi}\)
\(\int_0^1x^2 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-4}{\pi^3}\)
\(\int_0^1x^3 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-6}{\pi^3}\)
\(\int_0^1x^4 \sin \pi x\,dx = \frac{48-12 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)
\(\int_0^1x^5 \sin \pi x\,dx = \frac{120-20 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)
\(\int_0^1x^6 \sin \pi x\,dx = \frac{-1440+360\pi^2-30 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)
\(\int_0^1x^7 \sin \pi x\,dx = \frac{-5040+840\pi^2-42 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)
관찰2
- 르장드르 다항식
\(P_n(x) = \frac{1}{n!} {d^n \over dx^n } \left[ x^{n}(1-x)^n \right]\)
(정리)
일반적인 함수 \(f\)에 대하여, 다음이 성립한다.
\(\int_{0}^{1}P_n(x)f(x)\,dx=-\int_{0}^{1}P_{n-1}(x)f^{(1)}(x)\,dx=\cdots=(-1)^{n}\int_{0}^{1}P_{0}(x)f^{(n)}(x)\,dx=\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}(x^{n}(1-x)^n)f^{(n)}\,dx\)
(증명)
부분적분 ■
π는 무리수임의 증명
π는 무리수, 즉 \(\pi=a/b\) 이라고 가정하자.
\(\int_0^1x^j \sin \pi x\,dx \)에 의하여,
\(\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{A_{n}}{B_{n}}\) 는 0이 아닌 유리수가 된다. \(P_{n}(x)\)는 n차 다항식이므로, \(a^{n+1}\)을 \(A_{n}/B_{n}\)의 양변에 곱하면, 자연를 얻는다.
즉, \(0<|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx|\) 는 자연수이다. 한편,
\(|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin x\,dx|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|\leq |a^{n+1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\pi^{n} \,dx|\)
우변에 대하여 다음이 성립한다.
\(n \to \infty\) 일 때, \(a^{n+1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\pi^{n} \,dx|\leq a^{n+1}\frac{1}{n!}(\frac{1}{4})^n\pi^n|\to 0\)
따라서
\(|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx|\) 는 자연수일 수 없다. 모순. 따라서 π는 무리수이다. ■
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
- 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
역사
메모
관련된 항목들
수학용어번역
- 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 남·북한수학용어비교
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- http://planetmath.org/encyclopedia/PiAndPi2AreIrrational.html
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)
-
- Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231
-
- On Lambert's Proof of the Irrationality of Pi
- M. Laczkovich, The American Mathematical Monthly, Vol. 104, No. 5 (May, 1997), pp. 439-443
- A simple proof that $\pi$ is irrational
- Ivan Niven, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 509.
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/
관련도서
- 도서내검색
- 도서검색
관련기사
- 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)