파이 π는 무리수이다

개요

• 파이가 무리수임의 증명
• [Huylebrouck2001]참조

증명

관찰

\(\int_0^1 \sin \pi x\,dx = \frac{2}{\pi}\)

\(\int_0^1 x \sin \pi x\,dx = \frac{1}{\pi}\)

\(\int_0^1x^2 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-4}{\pi^3}\)

\(\int_0^1x^3 \sin \pi x\,dx = \frac{\pi^2-6}{\pi^3}\)

\(\int_0^1x^4 \sin \pi x\,dx = \frac{48-12 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)

\(\int_0^1x^5 \sin \pi x\,dx = \frac{120-20 \pi^2+\pi^4}{\pi^5}\)

\(\int_0^1x^6 \sin \pi x\,dx = \frac{-1440+360\pi^2-30 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)

\(\int_0^1x^7 \sin \pi x\,dx = \frac{-5040+840\pi^2-42 \pi^4+\pi^6}{\pi^7}\)

보조정리 1

다음을 만족시키는 정수 \(a_0,a_1,\cdots,a_{n}\) 이 존재한다.

\(\int_0^1x^n \sin \pi x\,dx=\frac{a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}\)

(증명)

\(y_{n}=\int_0^1x^n \sin \pi x\,dx\) 라 두자.

다음 점화식이 성립한다.

\(y_{n}=\frac{1}{\pi}-\frac{n(n-1)}{\pi^2}y_{n-2}\), \(n\geq 2\), \(y_0=\frac{2}{\pi}\), \(y_1=\frac{1}{\pi}\).

수학적귀납법에 의해 보조정리가 증명된다. ■

정의

르장드르 다항식 의 변형, \(P_n(x) = \frac{1}{n!} {d^n \over dx^n } \left[ x^{n}(1-x)^n \right]\) 을 정의하자.

보조정리 2

\(n\geq 1\) 일 때, n번 미분가능한 함수 \(f\)에 대하여 다음이 성립한다.

\(\int_0^1P_n(x)f(x)\,dx=\frac{(-1)^{n}}{n!}\int_0^1 x^{n}(1-x)^nf^{(n)}(x)\,dx\).

(증명)

부분적분. ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리) 의 보조정리4 참조. ■

보조정리 3

다음을 만족시키는 정수 \(a_0,a_1,\cdots,a_{n}\) 이 존재한다.

\(\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}\)

(증명)

\(P_{n}(x)\)는 정수계수를 갖는 n차 다항식이므로, 보조정리 1 에 의하여 증명된다. ■

귀류법을 통한 증명의 마무리

이제 π는 무리수, 즉 \(\pi=a/b\) 이라고 가정하자.

보조정리 3에 의하여,

\(I_{n}=\int_{0}^{1}P_n(x)\sin \pi x\,dx=\frac{a_n\pi^{n}+\cdots+a_0}{\pi^{n+1}}=\frac{b(a_na^{n}+a_{n-1}ba^{n-1}+\cdots+a_0b^{n})}{a^{n+1}}\)

는 0이 아닌 유리수가 된다. 따라서 \(a^{n+1}I_{n}\) 는 자연수이다.

보조정리 2에 의하여,

\(0<|a^{n+1}I_{n}|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}P_n(x)\sin x\,dx|=|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|\)

구간 \([0,1]\)에서 \(x(1-x)\)의 최대값은 \(1/4\)이므로,

\(|a^{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{n!}x^n(1-x)^n\frac{d^{n}}{dx^{n}}\sin \pi x\,dx|\leq |a^{n+1}\frac{1}{n!}\frac{\pi^{n}}{4^n}|=|\frac{a}{n!}(\frac{a\pi}{4})^n|\) 이다.

n이 커지면 우변은 0으로 수렴한다.

따라서 \(a^{n+1}I_{n}\) 는 자연수일 수 없다. 모순. 따라서 π는 무리수이다. ■

역사

• 1761 - 람베르트가 파이 π는 무리수 임을 증명
• 1882 - 린데만이 파이는 초월수임을 증명하고 따라서 원이 자와 컴파스로 작도 불가능함을 증명
• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사연표

메모

• 같은 아이디어를 사용하여 ζ(3)는 무리수이다(아페리의 정리)를 증명할 수 있다

관련된 항목들

• 르장드르 다항식

수학용어번역

• 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/http://en.wikipedia.org/wiki/Proof_that_π_is_irrational
• http://planetmath.org/encyclopedia/PiAndPi2AreIrrational.html

관련논문

• [Huylebrouck2001]Similarities in Irrationality Proofs for π, ln2, ζ(2), and ζ(3)
  
  • Dirk Huylebrouck, The American Mathematical Monthly,Vol. 108, March 2001 pp. 222-231
• On Lambert's Proof of the Irrationality of Pi
  
  • M. Laczkovich, The American Mathematical Monthly, Vol. 104, No. 5 (May, 1997), pp. 439-443
• A simple proof that $\pi$ is irrational
  
  • Ivan Niven, Bull. Amer. Math. Soc. 53 (1947), 509.
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

블로그

• [1]http://zariski.wordpress.com/2010/03/07/π원주율의-무리수성-증명/ 내 백과사전, 2010-3-7