"표본평균과 표본분산"의 두 판 사이의 차이
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여론조사는, 모집단의 <math>\mu</math>와 <math>\sigma^2</math>를 알지 못하는 상태에서, 하나의 표본을 통하여 이를 추정하는 문제에 해당한다. | 여론조사는, 모집단의 <math>\mu</math>와 <math>\sigma^2</math>를 알지 못하는 상태에서, 하나의 표본을 통하여 이를 추정하는 문제에 해당한다. | ||
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2012년 1월 13일 (금) 10:59 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
유한모집단, 비복원추출의 경우
크기가 N인 유한모집단의 모평균이 \(\mu\), 모분산이 \(\sigma^2\) 이라고 가정하자.
여론조사는, 모집단의 \(\mu\)와 \(\sigma^2\)를 알지 못하는 상태에서, 하나의 표본을 통하여 이를 추정하는 문제에 해당한다.
크기가 n인 표본 \(y_1,\cdots,y_n\) 을 모집단에서 추출했다고 하면, 이로부터 표본평균과 표본분산을 다음과 같이 얻는다.
\(\bar{y}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}\)
\(s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\bar{y})^2\)
\(\bar{y}\)와 \(s^2\) 는 모두 새로운 확률변수로 이해할 수 있으며, 이 확률변수의 평균과 분산을 모평균 \(\mu\), 모분산 \(\sigma^2\)를 통하여 표현할 수 있다.
확률변수 \(\bar{y}\)의 경우
\(E(\bar{y})=\mu\), \(V(\bar{y})=\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})\)
확률변수 \(s^2\)의 경우
\(E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2\)
모평균과 모분산의 추정
- 평균이 \(\mu\)인 모집단에서 n 개의 표본 \(y_1,\cdots,y_n\) 을 추출할 때 표본평균 \(\bar{y}\)는 \(\mu\)의 불편추정량이다. 즉
\(E(\bar{y})=\mu\) - 평균이 \(\mu\), 분산 \(\sigma^2\) 인 크기가 N인 모집단에서 n개의 표본 \(y_1,\cdots,y_n\)을 추출할 때 표본분산 \(s^2\)은 \(\frac{N}{N-1}\sigma^2\)의 불편추정량이다. 즉
\(E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2\) - 모평균 \(\mu\)은 표본평균 \(\bar{y}\) 로 추정할 수 있다
- 표본평균의 분산 \(V(\bar{y})\)은 표본분산 \(s^2\)를 이용하여 \(\frac{s^2}{n}(\frac{N-n}{N})\) 로 추정할 수 있다
표본평균
표본분산
n-1로 나누기 vs n으로 나누기
n-1 로 나누는 경우, 비편향분산이라고 불리기도 하며, 모집단의 분산에 대한 불편추정량이 되는 좋은 성질을 갖는다.
http://en.wikipedia.org/wiki/Variance#Population_variance_and_sample_variance
http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel%27s_correction
Bessel's correction yields an unbiased estimator of the population variance
http://www.minitab.com/support/documentation/answers/Why%20is%20S2%20the%20unbiased%20estimator.pdf
편향분산
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
수학용어번역
- 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표
- sampling without replacement 비복원표집, 비복원추출
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- The Online Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
리뷰논문, 에세이, 강의노트
관련논문