"표본평균과 표본분산"의 두 판 사이의 차이

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여론조사는, 모집단의 <math>\mu</math>와 <math>\sigma^2</math>를 알지 못하는 상태에서, 하나의 표본을 통하여 이를 추정하는 문제에 해당한다. 
 
여론조사는, 모집단의 <math>\mu</math>와 <math>\sigma^2</math>를 알지 못하는 상태에서, 하나의 표본을 통하여 이를 추정하는 문제에 해당한다. 
  
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크기가 n인 표본 <math>y_1,\cdots,y_n</math> 을 모집단에서 추출했다고 하면, 이로부터 표본평균과 표본분산을 다음과 같이 얻는다.
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크기가 n인 표본 <math>y_1,\cdots,y_n</math> 을 모집단에서 추출했다고 하면, 이로부터 표본평균 <math>\bar{y}</math>과 표본분산 <math>s^2</math>을 다음과 같이 얻는다.
  
 
<math>\bar{y}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}</math>
 
<math>\bar{y}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}</math>
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모평균과 모분산의 추정
 
모평균과 모분산의 추정
  
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*  평균이 <math>\mu</math>인 모집단에서 n 개의 표본 <math>y_1,\cdots,y_n</math> 을 추출할 때 표본평균 <math>\bar{y}</math>는 <math>\mu</math>의 불편추정량이다. 즉<br><math>E(\bar{y})=\mu</math><br>
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*  평균이 <math>\mu</math>인 모집단에서 n 개의 표본 <math>y_1,\cdots,y_n</math> 을 추출할 때 표본평균 <math>\bar{y}</math>는 <math>\mu</math>의 불편추정량이다. 즉<br><math>E(\bar{y})=\mu</math> 이 성립한다.<br>
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*  평균이 <math>\mu</math>, 분산  <math>\sigma^2</math> 인 크기가 N인 모집단에서 n개의 표본  <math>y_1,\cdots,y_n</math>을 추출할 때 표본분산  <math>s^2</math>은  <math>\frac{N}{N-1}\sigma^2</math>의 불편추정량이다. 즉<br><math>E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2</math><br>
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*  평균이 <math>\mu</math>, 분산  <math>\sigma^2</math> 인 크기가 N인 모집단에서 n개의 표본  <math>y_1,\cdots,y_n</math>을 추출할 때 표본분산  <math>s^2</math>은  <math>\frac{N}{N-1}\sigma^2</math>의 불편추정량이다. 즉<br><math>E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2</math> 이 성립한다.<br>
 
* 모평균 <math>\mu</math>은 표본평균 <math>\bar{y}</math> 로 추정할 수 있다
 
* 모평균 <math>\mu</math>은 표본평균 <math>\bar{y}</math> 로 추정할 수 있다
 
* 표본평균의 분산 <math>V(\bar{y})</math>은 표본분산 <math>s^2</math>를 이용하여  <math>\frac{s^2}{n}(\frac{N-n}{N})</math> 로 추정할 수 있다
 
* 표본평균의 분산 <math>V(\bar{y})</math>은 표본분산 <math>s^2</math>를 이용하여  <math>\frac{s^2}{n}(\frac{N-n}{N})</math> 로 추정할 수 있다
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<h5>표본분산</h5>
 
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n-1로 나누기 vs n으로 나누기
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* n-1로 나누기 vs n으로 나누기
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* n-1 로 나누는 경우, 비편향분산이라고 불리기도 하며, 모집단의 분산에 대한 불편추정량이 되는 좋은 성질을 갖는다.
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n-1 로 나누는 경우, 비편향분산이라고 불리기도 하며, 모집단의 분산에 대한 불편추정량이 되는 좋은 성질을 갖는다.
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Variance#Population_variance_and_sample_variance
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* http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel%27s_correction
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http://en.wikipedia.org/wiki/Variance#Population_variance_and_sample_variance
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* Bessel's correction yields an unbiased estimator of the population variance
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* http://www.minitab.com/support/documentation/answers/Why%20is%20S2%20the%20unbiased%20estimator.pdf
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http://en.wikipedia.org/wiki/Bessel%27s_correction
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* 편향분산
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Bessel's correction yields an unbiased estimator of the population variance
 
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http://www.minitab.com/support/documentation/answers/Why%20is%20S2%20the%20unbiased%20estimator.pdf
 
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편향분산
 
  
 
 
 
 
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<h5>관련된 항목들</h5>
 
<h5>관련된 항목들</h5>
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* [[여론조사와 수학]]
  
 
 
 
 
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<h5>매스매티카 파일 및 계산 리소스</h5>
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* https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYjgwMWFmOTUtMGFmMi00YzE2LThjMWQtZDNkMTEwZGFlYjU5&sort=name&layout=list&num=50
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* http://functions.wolfram.com/
 +
* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://people.math.sfu.ca/%7Ecbm/aands/toc.htm Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions]
 +
* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 +
* [http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html Numbers, constants and computation]
 +
* [https://docs.google.com/open?id=0B8XXo8Tve1cxMWI0NzNjYWUtNmIwZi00YzhkLTkzNzQtMDMwYmVmYmIxNmIw 매스매티카 파일 목록]
  
 
 
 
 

2012년 1월 13일 (금) 11:12 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

 

유한모집단, 비복원추출의 경우

크기가 N인 유한모집단의 모평균이 \(\mu\), 모분산이 \(\sigma^2\) 이라고 가정하자.

여론조사는, 모집단의 \(\mu\)와 \(\sigma^2\)를 알지 못하는 상태에서, 하나의 표본을 통하여 이를 추정하는 문제에 해당한다. 

크기가 n인 표본 \(y_1,\cdots,y_n\) 을 모집단에서 추출했다고 하면, 이로부터 표본평균 \(\bar{y}\)과 표본분산 \(s^2\)을 다음과 같이 얻는다.

\(\bar{y}=\sum_{i=1}^{n}y_{i}\)

\(s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\bar{y})^2\)

 

\(\bar{y}\)와 \(s^2\) 는 모두 새로운 확률변수로 이해할 수 있으며, 이 확률변수의 평균과 분산을 모평균 \(\mu\), 모분산 \(\sigma^2\)를 통하여 표현할 수 있다.

 

확률변수 \(\bar{y}\)의 경우

\(E(\bar{y})=\mu\), \(V(\bar{y})=\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})\)

 

확률변수 \(s^2\)의 경우

\(E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2\)

 

모평균과 모분산의 추정

  • 평균이 \(\mu\)인 모집단에서 n 개의 표본 \(y_1,\cdots,y_n\) 을 추출할 때 표본평균 \(\bar{y}\)는 \(\mu\)의 불편추정량이다. 즉
    \(E(\bar{y})=\mu\) 이 성립한다.
  • 평균이 \(\mu\), 분산  \(\sigma^2\) 인 크기가 N인 모집단에서 n개의 표본  \(y_1,\cdots,y_n\)을 추출할 때 표본분산  \(s^2\)은  \(\frac{N}{N-1}\sigma^2\)의 불편추정량이다. 즉
    \(E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2\) 이 성립한다.
  • 모평균 \(\mu\)은 표본평균 \(\bar{y}\) 로 추정할 수 있다
  • 표본평균의 분산 \(V(\bar{y})\)은 표본분산 \(s^2\)를 이용하여  \(\frac{s^2}{n}(\frac{N-n}{N})\) 로 추정할 수 있다

 

 

표본평균

 

 

 

표본분산

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

 

관련논문

 

 

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