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==수학용어번역==
  
 
* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]<br>
 
* [http://www.kss.or.kr/pds/sec/dic.aspx 한국통계학회 통계학 용어 온라인 대조표]<br>

2012년 11월 1일 (목) 14:27 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

 

유한모집단, 비복원추출의 경우

크기가 N인 유한모집단의 모평균이 \(\mu\), 모분산이 \(\sigma^2\) 이라고 가정하자.

여론조사는, 모집단의 \(\mu\)와 \(\sigma^2\)를 알지 못하는 상태에서, 하나의 표본을 통하여 이를 추정하는 문제에 해당한다. 

크기가 n인 표본 \(y_1,\cdots,y_n\) 을 모집단에서 추출했다고 하면, 이로부터 표본평균 \(\bar{y}\)과 표본분산 \(s^2\)을 다음과 같이 얻는다.

\(\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i}\)

\(s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\bar{y})^2\)

 

\(\bar{y}\)와 \(s^2\) 는 모두 새로운 확률변수로 이해할 수 있으며, 이 확률변수의 평균과 분산을 모평균 \(\mu\), 모분산 \(\sigma^2\)를 통하여 표현할 수 있다.

 

확률변수 \(\bar{y}\)의 경우

\(E(\bar{y})=\mu\), \(V(\bar{y})=\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})\)

 

확률변수 \(s^2\)의 경우

\(E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2\)

 

모평균과 모분산의 추정

  • 평균이 \(\mu\)인 모집단에서 n 개의 표본 \(y_1,\cdots,y_n\) 을 추출할 때 표본평균 \(\bar{y}\)는 \(\mu\)의 불편추정량이다. 즉
    \(E(\bar{y})=\mu\) 이 성립한다.
  • 평균이 \(\mu\), 분산  \(\sigma^2\) 인 크기가 N인 모집단에서 n개의 표본  \(y_1,\cdots,y_n\)을 추출할 때 표본분산  \(s^2\)은  \(\frac{N}{N-1}\sigma^2\)의 불편추정량이다. 즉
    \(E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2\) 이 성립한다.
  • 모평균 \(\mu\)은 표본평균 \(\bar{y}\) 로 추정할 수 있다
  • 표본평균의 분산 \(V(\bar{y})\)은 표본분산 \(s^2\)를 이용하여  \(\frac{s^2}{n}(\frac{N-n}{N})\) 로 추정할 수 있다

 

 

 

예

  • 모집단이

 

 

 

표본평균

 

 

 

표본분산

 

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

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관련논문

 

 

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