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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
 
<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요</h5>
  
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** <math>F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}</math>
 
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*  잘 알려진 성질들<br>
 
*  잘 알려진 성질들<br>
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** 황금비와 많이 관련되어 있음.
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** [[황금비]]와 많이 관련되어 있음.
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** [http://www18.wolframalpha.com/input/?i=golden+ratio <math>\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots</math>]<br>  <br>
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** <math>\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots</math>
 
** <math>\lim_{n\to\infty}\frac{F(n+1)}{F(n)}=\varphi</math>
 
** <math>\lim_{n\to\infty}\frac{F(n+1)}{F(n)}=\varphi</math>
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** <math> F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2=(-1)^{n}</math>
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** <math>F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2=(-1)^{n}</math>
 
*  위의 성질들을 이용하면, 다음과 같은 식들을 얻을 수 있음.<br><math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{F_nF_{n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{F_{n}}{F_{n+1}}-\frac{F_{n-1}}{F_{n}}}=\frac{1}{\varphi}=\varphi-1</math><br><math>\prod_{n=2}^{\infty}(1+\frac{(-1)^{n}}{F_n^2})=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_n^2+(-1)^n}{F_n^2}=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_{n-1}}{F_n}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi</math><br>
 
*  위의 성질들을 이용하면, 다음과 같은 식들을 얻을 수 있음.<br><math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{F_nF_{n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{F_{n}}{F_{n+1}}-\frac{F_{n-1}}{F_{n}}}=\frac{1}{\varphi}=\varphi-1</math><br><math>\prod_{n=2}^{\infty}(1+\frac{(-1)^{n}}{F_n^2})=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_n^2+(-1)^n}{F_n^2}=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_{n-1}}{F_n}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi</math><br>
  

2011년 3월 22일 (화) 09:53 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

 

개요
  • 정의
    • \(F_0=1,F_1=1\)
    • \(F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\)
  • 잘 알려진 성질들
    • 황금비와 많이 관련되어 있음.
    • \(\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots\)
    • \(\lim_{n\to\infty}\frac{F(n+1)}{F(n)}=\varphi\)
    • \(F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2=(-1)^{n}\)
  • 위의 성질들을 이용하면, 다음과 같은 식들을 얻을 수 있음.
    \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{F_nF_{n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{F_{n}}{F_{n+1}}-\frac{F_{n-1}}{F_{n}}}=\frac{1}{\varphi}=\varphi-1\)
    \(\prod_{n=2}^{\infty}(1+\frac{(-1)^{n}}{F_n^2})=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_n^2+(-1)^n}{F_n^2}=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_{n-1}}{F_n}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi\)

 

 

피보나치 수열의 일반항
  • 생성함수를 이용한 방법
  • 피보나치 수열의 생성함수

\(s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k=s(x)=\frac{x}{1-x-x^2}\)

(증명)

\(\begin{align} s(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} \left( F_{k-1} + F_{k-2} \right) x^k \\ &= x + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^k + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^k \\ &= x + x\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k + x^2\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= x + x s(x) + x^2 s(x) \end{align}\)

 

이제 이 함수를 부분분수로 분해하여 쓰면, 피보나치수열의 일반항을 얻을 수 있다.

\(F(n) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}\)

\(\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots\)

 

 

황금비와 피보나치 수열

[/pages/2252978/attachments/1347082 goldenrectangle.jpg]

 

 

자연과 피보나치 수열

[1]

[/pages/2252978/attachments/1347090 275_FI_MATH_FIB_NAUT_2030_P.jpg]

[/pages/2252978/attachments/1347094 fb_r003b.jpg]

 

 

재미있는 사실
  • [/pages/2252978/attachments/1346066 전체화면 캡처 2009-03-01 오후 123738.jpg]

 

 

 

메모

http://en.wikipedia.org/wiki/Pisano_period

http://www.math.temple.edu/~renault/fibonacci/fib.html

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