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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소== |
* [[피보나치 수열의 여러가지 성질]] | * [[피보나치 수열의 여러가지 성질]] | ||
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| − | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요 | + | <h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">개요== |
* 정의<br> | * 정의<br> | ||
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* [[생성함수]]를 이용한 방법 | * [[생성함수]]를 이용한 방법 | ||
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2012년 11월 1일 (목) 14:17 판
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개요==
- 정의
- \(F_0=1,F_1=1\)
- \(F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\)
- 잘 알려진 성질들
- 황금비와 많이 관련되어 있음.
- \(\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots\)
- \(\lim_{n\to\infty}\frac{F(n+1)}{F(n)}=\varphi\)
- \(F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2=(-1)^{n}\)
- 위의 성질들을 이용하면, 다음과 같은 식들을 얻을 수 있음.
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{F_nF_{n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{F_{n}}{F_{n+1}}-\frac{F_{n-1}}{F_{n}}}=\frac{1}{\varphi}=\varphi-1\)
\(\prod_{n=2}^{\infty}(1+\frac{(-1)^{n}}{F_n^2})=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_n^2+(-1)^n}{F_n^2}=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_{n-1}}{F_n}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi\)
피보나치 수열의 일반항
- 생성함수를 이용한 방법
- 피보나치 수열의 생성함수
\(s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k=s(x)=\frac{x}{1-x-x^2}\)
(증명)
\(\begin{align} s(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} \left( F_{k-1} + F_{k-2} \right) x^k \\ &= x + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^k + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^k \\ &= x + x\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k + x^2\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \\ &= x + x s(x) + x^2 s(x) \end{align}\)
이제 이 함수를 부분분수로 분해하여 쓰면, 피보나치수열의 일반항을 얻을 수 있다.
\(F(n) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}\)
\(\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots\)
황금비와 피보나치 수열
[/pages/2252978/attachments/1347082 goldenrectangle.jpg]
자연과 피보나치 수열
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재미있는 사실
- [/pages/2252978/attachments/1346066 전체화면 캡처 2009-03-01 오후 123738.jpg]
메모
- 정의
- \(F_0=1,F_1=1\)
- \(F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}\)
- 잘 알려진 성질들
- 황금비와 많이 관련되어 있음.
- \(\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots\)
- \(\lim_{n\to\infty}\frac{F(n+1)}{F(n)}=\varphi\)
- \(F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2=(-1)^{n}\)
- 위의 성질들을 이용하면, 다음과 같은 식들을 얻을 수 있음.
\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{F_nF_{n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{F_{n}}{F_{n+1}}-\frac{F_{n-1}}{F_{n}}}=\frac{1}{\varphi}=\varphi-1\)
\(\prod_{n=2}^{\infty}(1+\frac{(-1)^{n}}{F_n^2})=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_n^2+(-1)^n}{F_n^2}=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_{n-1}}{F_n}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi\)
![[1]](http://www.mathematicianspictures.com/images_275/275_FI_CREDITS_75PCMATHPICS.jpg){kind=link}