"해밀턴의 사원수(quarternions)"의 두 판 사이의 차이

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* 4원수란 <math>a+bi+cj+dk</math> 형태의 수이다.  모든 4원수들의 집합을 <math>\mathbb{H}</math> 로 보통 표현한다.
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*  여기서 <math>a,b,c,d</math> 는 실수, <math>i,j,k</math> 는 곱셈에 대하여 다음과 같은 성질을 만족시키는 심볼<br>
 
** <math>i^2 = j^2 = k^2 = -1</math>
 
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<h5>관련된 다른 주제들</h5>
 
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2009년 4월 5일 (일) 12:54 판

간단한 소개
  • 복소수는 \(i^2=-1\) 을 만족시키는 수를 추가하여 얻어짐.
  • 복소수는 2차원의 회전을 공부하는데 유용함.
  • 해밀턴은 3차원에서의 회전을 잘 표현할 수 있는 수 체계를 찾으려 하였으나, 오랜 시간의 실패를 경험
  • 1843년 마침내 4차원에서, 복소수에 대응될만한 수체계를 발견함.

 

정의
  • 4원수란 \(a+bi+cj+dk\) 형태의 수이다.  모든 4원수들의 집합을 \(\mathbb{H}\) 로 보통 표현한다.
  • 여기서 \(a,b,c,d\) 는 실수, \(i,j,k\) 는 곱셈에 대하여 다음과 같은 성질을 만족시키는 심볼
    • \(i^2 = j^2 = k^2 = -1\)
    • \(ij = -ji = k, jk = -kj = i, ki = -ik = j\)
  • 사원수의 곱셈은 교환법칙을 만족시키지 않는다.

 

군론과의 관계
  • \(\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}\) 는 차수가 8인 군의 구조를 이룸

 

곱셈표는 다음과 같이 읽음

\(\cdot\) b
a \(a \cdot b\)

 

 

\(\cdot\) 1 -1 i -i j -j k -k
1 1 -1 i -i j -j k -k
-1 -1 1 -i i -j j -k k
i i -i -1 1 k -k -j j
-i -i i 1 -1 -k k j -j
j j -j -k k -1 1 i -i
-j -j j k -k 1 -1 -i i
k k -k j -j -i i -1 1
-k -k k -j j i -i 1 -1

 

 

 

 

 

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