띄엄띄엄 가우스 모형과 사인-고든 모형

이번 통계물리 겨울학교의 주제는 '표면 상전이(surface phase transitions)'였습니다. 표면은 공간을 둘로 나누는 경계면으로 정의할 수 있습니다. 2차원 공간의 표면은 곡선, 3차원 공간의 표면은 곡면이 되겠죠. 물컵에 물이 반쯤 담겨있다고 합시다. 물과 공기를 가르는 표면을 쉽게 볼 수 있습니다. 하지만 물컵을 가열하다보면 물이 끓으면서 표면이 점점 거칠어져서 표면을 잘 정의하기 힘들어집니다. 이것만 보더라도 평평한(flat) 표면과 거친(rough) 표면을 구분할 수 있고 이 두 표면 사이의 상전이를 이야기할 수 있습니다.

표면장력을 고려한 간단한 모형을 생각해봅시다. 다음과 같이 바닥에 정육면체 모양의 입자들이 쌓여있다고 합시다. 각 위치에 쌓인 입자의 개수, 즉 높이를 h라고 합니다. h는 정수겠죠.