"안장점 어림, 최급강하법, 라플라스 방법"의 두 판 사이의 차이
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| − | 제목에 쓴 세 용어는 모두 같은 방법을 가리킨다고 합니다. 영어로 쓰자면 각각 saddle-point approximation, method of steepest descent, Laplace's method입니다(참고: [http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_steepest_descent 위키피디아의 관련 항목]). 아래 지수함수로 펼쳐진 | + | 제목에 쓴 세 용어는 모두 같은 방법을 가리킨다고 합니다. 영어로 쓰자면 각각 saddle-point approximation, method of steepest descent, Laplace's method입니다(참고: [http://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_steepest_descent 위키피디아의 관련 항목]). 아래 지수함수로 [http://kyauou.tistory.com/822 펼쳐진 지수함수]와 거듭제곱 꼴을 만드는 방법을 알려드렸는데 적분식을 제대로 푼 게 아니라 안장점 어림을 하여 얻은 결과입니다. 궁금해하실 분들이 있을까봐(과연;;) 간단히 소개합니다. |
결과부터 쓰면 다음과 같습니다. 좌변의 적분에서 N이 매우 크다면 우변처럼 쓸 수 있다는 말입니다. | 결과부터 쓰면 다음과 같습니다. 좌변의 적분에서 N이 매우 크다면 우변처럼 쓸 수 있다는 말입니다. | ||
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<math>f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f''(x_0)|(x-x_0)^2</math> | <math>f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f''(x_0)|(x-x_0)^2</math> | ||
| − | 이제 x는 2차항에만 있고 x로 적분하는 건 가우스 적분으로 쉽게 되고, 결과적으로 지수함수에 남는 건 f(x<sub>0</sub>) | + | 이제 x는 2차항에만 있고 x로 적분하는 건 가우스 적분으로 쉽게 되고, 결과적으로 지수함수에 남는 건 f(x<sub>0</sub>)뿐입니다. |
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| + | [http://kyauou.tistory.com/822 앞 글]에 나온 적분 결과는 이 방법을 그냥 이용한 겁니다. 다시 적분식을 봅시다. | ||
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| + | <math>\rho(t)\sim \int dL L^d \exp[-pL^d-t/L^z],\ f(L)=-pL^d-t/L^z</math> | ||
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| + | <math>\rho(t)\sim \exp[-at^{d/(d+z)}]</math> | ||
2009년 9월 25일 (금) 23:29 판
제목에 쓴 세 용어는 모두 같은 방법을 가리킨다고 합니다. 영어로 쓰자면 각각 saddle-point approximation, method of steepest descent, Laplace's method입니다(참고: 위키피디아의 관련 항목). 아래 지수함수로 펼쳐진 지수함수와 거듭제곱 꼴을 만드는 방법을 알려드렸는데 적분식을 제대로 푼 게 아니라 안장점 어림을 하여 얻은 결과입니다. 궁금해하실 분들이 있을까봐(과연;;) 간단히 소개합니다.
결과부터 쓰면 다음과 같습니다. 좌변의 적분에서 N이 매우 크다면 우변처럼 쓸 수 있다는 말입니다.
\(\int e^{Nf(x)}\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(x_0)|}}}e^{Nf(x_0)}\textrm{ as }N\to\infty\)
f(x)는 x0에서 최대값을 가집니다. 중간에 생략한 단계는 f(x)를 x0에서 테일러 전개하는 건데요 2차항까지만 보면 다음과 같지요.
\(f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f''(x_0)|(x-x_0)^2\)
이제 x는 2차항에만 있고 x로 적분하는 건 가우스 적분으로 쉽게 되고, 결과적으로 지수함수에 남는 건 f(x0)뿐입니다.
앞 글에 나온 적분 결과는 이 방법을 그냥 이용한 겁니다. 다시 적분식을 봅시다.
\(\rho(t)\sim \int dL L^d \exp[-pL^d-t/L^z],\ f(L)=-pL^d-t/L^z\)
\(\rho(t)\sim \exp[-at^{d/(d+z)}]\)