테일러 전개 문제

테일러 급수(Taylor series)는 임의의 함수를 다항식으로 전개하는 방법입니다. 보통 다음처럼 씌어집니다.

\(f(x+\epsilon) = f(x)+ \epsilon f'(x) + \frac{1}{2!} \epsilon^2 f''(x) +\mathcal{O}(\epsilon^3)\)
그런데 만일 ε이 x의 함수라면 어떻게 전개해야 할까요? 위 우변에서 ε을 모두 ε(x)로 바꾸면 해결될까요? 우변의 두번째 항의 f'(x)는 사실 아래 왼쪽 식의 결과입니다.

\(\frac{df(x+\epsilon)}{dx}\Big|_{\epsilon=0}\to \frac{df(x+\epsilon(x))}{dx}\Big|_{\epsilon(x)=0} = f'(x)[1+\epsilon'(x)]|_{\epsilon(x)=0}\)

이제 이걸 오른쪽 식처럼 바꾸어 써야겠죠. 그런데 맨 오른쪽 식에서 ε을 미분한 항에 ε(x) = 0을 대입하는 걸 어떻게 적용해야 할지 모르겠습니다. 여튼 마찬가지 방식으로 두 번 미분한 항을 구합니다.

 

 

그렇다면 아래의 경우는 올바른 전개일까요?

\(f(x+\epsilon x)= f(x)+ \epsilon x f'(x) + \frac{1}{2!} (\epsilon x)^2 f''(x) +\mathcal{O}((\epsilon x)^3)\)

여기서도 εx가 매우 작다고 가정합니다. 몇 가지 경우를 해봐도 별 문제는 없어보입니다. 그럼 다음 함수는 어떻게 전개해야 할까요?

\(f(x+\epsilon x/y,y+\delta)\)

우선 변수가 두 개인 기본적인 테일러 급수부터 보겠습니다.

\(f(x+\epsilon,y+\delta) = f(x,y)+ \epsilon \partial_x f(x,y) + \delta \partial_y f(x,y)+ \\\frac{1}{2!}\left[\epsilon^2 \partial^2_x f(x,y) +2\epsilon\delta \partial_x \partial_yf(x,y)+ \delta^2 \partial^2_y f(x,y)\right] +\cdots\)

여기서 ε과 δ는 모두 상수로 취급했으므로 x나 y로 미분할 때 걸리적거리지 않습니다. 하지만 제가 전개하고자 하는 위의 함수에서는 ε에 x/y가 곱해져 있어서 주의해야 합니다. 문제가 되는 부분은 두 번 미분한 항 중에서도 x와 y로 각각 한 번 씩 미분해야 하는 경우인데요, 이 미분 순서에 따라 결과가 달라질 수