락스 쌍 (Lax pair)

개요

• 해밀턴 역학에서 보존량을 얻기 위해 유용한 방법
• spectral parameter

 

 

기호

• 위치 변수 \(q=(q_1,\cdots,q_N)\)
  
• 운동량 변수 \(p=(p_1,\cdots,p_N)\)
  
• \(\{q_i,p_i\}=\delta_{ij}\)
  
• 해밀토니안 \(H(q,p)\)
• 운동방정식
  \(\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i\)
  \(\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i\)
  

 

 

락스 쌍

• 많은 적분가능 모형에 락스 쌍 formalism 을 적용할 수 있다
• 변수 q,p에 의존하는 두 \(N\times N\) 행렬 \(L(q,p) \) 와 \(M(q,p)\)이 락스 방정식 \(\dot{L}=\{L,M\}\) 을 만족시키면 이를 락스 쌍이라 한다
• 해밀토니안에 의한 운동방정식과 같다
  \(\dot{q}_i=\{q_i,H\}=\partial H/\partial p_i\)
  \(\dot{p}_i=\{q_i,H\}-\partial H/\partial q_i\)
  
• 많은 보존량을  \(\operatorname{tr}(L^p)\) 의 형태로 얻을 수 있다
  \(\frac{d}{dt}\operatorname{tr}(L^p)=\operatorname{tr}(p [L,M]L^{p-1})=p\operatorname{tr}(LML^{p-1}-ML^{p})=0\)
  따라서 \(\operatorname{tr}(L^p)\) 는 보존량이 된다
  

 

 

isospectral deformation

• L is an isospectral deformation of L(0) if  L(t) has the same eigenvalues for all t
  
• \(L(t)v(t)=\lambda v(t)\)
  
• Record their derivative by a matrix
  \(v'(t)=B(t)v(t)\)
  
• Differentiate \(L(t)v(t)=\lambda v(t)\)
  \(L'(t)v(t)+L(t)v'(t)=\lambda v'(t)\)
  \(L'(t)v(t)+L(t)B(t)v(t)=\lambda B(t)v(t)=B(t)L(t)v(t)\)
  \(L'(t)v(t)=[B(t),L(t)]v(t)\)
  \(L'(t)=[B(t),L(t)]\)
  
• So B(t) and L(t) are a Lax pair
  

 

 

 

 

 

 

예: 코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation)

• 다음 두 Sturm-Liouville operator 연산자를 정의하자
  
  • \(L=\partial^2+u\)
  • \(B=\partial_{x}^3+\frac{3}{2}u\partial_{x}+\frac{3}{4}u_{x}\)
• \(\dot{L}=[L,B]\) 가 성립할 조건은 \(u_t=\frac{1}{4}u_{xxx}+\frac{3}{2}uu_x\) 와 동치이다
• 코테베그-드 브리스 방정식(KdV equation) 을 얻는다

 

 

 

예 : 사인-고든 방정식

• 적당한 함수 u(t,x)에 대하여, 두 행렬U, V 을 다음과 같이 정의하자
  \(U=\left( \begin{array}{cc} -4 & 2 i u^{(0,1)}(t,x) \\ -2 i u^{(0,1)}(t,x) & 4 \end{array} \right)\), \(V=\left( \begin{array}{cc} -\frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) & \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) \\ \frac{1}{4} i u^{(1,1)}(t,x) & \frac{1}{4} i \cos (u(t,x)) \end{array} \right)\)
  
• 두 미분연산자 \(L=4i \partial_{x} + U\)와 \(M=V\) 가 락스 쌍이 되려면, \(u_x=0\) 이거나 \(\sin (u(t,x))=u^{(1,1)}(t,x)\) 
• 사인-고든 방정식

 

 

Lax pairs with spectral parameters

• spectral curve
  \(\{(k,z)\in\mathbb{C}\times\mathbb{C}:\det(kI-L(z))=0\}\)
  
• 대수 곡선이 된다
  
• 각 점 \((k,z)\) 에 대한 벡터공간 \(\operatorname{ker}(kI-L(z))=0\) 을 통해여, 곡선에 대한 line bundle을 얻는다
  
• for examples, look at Introduction to classical integrable systems, chapter 3 http://goo.gl/LaawC
• integrals of motion
  \(\operatorname{tr} L(z)=\sum_{n}L_{n}z^{n} \)
  

 

역사

 

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
•  

 

 

메모

• Does the existence of a Lax pair imply integrability?
  
• http://iopscience.iop.org/0266-5611/25/12/123007
  
• Curves and Lax pairs -many examples
  

 

 

 

 

물리학용어번역

• 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en%7Cko&q=
• 발음사전 http://www.forvo.com/search/
• 한국물리학회 물리용어
  
  • http://www.kps.or.kr/home/kor/morgue/dic/default.asp?globalmenu=6&localmenu=2
  • http://www.kps.or.kr/home/kor/morgue/dic/word_list.asp?globalmenu=6&localmenu=2&lang=english
• 대한수학회 수학 학술 용어집
  
  • http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
• 남·북한수학용어비교
• 대한수학회 수학용어한글화 게시판

 

 

사전 형태의 자료=

• http://en.wikipedia.org/wiki/Lax_pair
• http://en.wikipedia.org/wiki/Liouville's_theorem_(Hamiltonian)
• http://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_bracket

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/

 

 

•  
  

 

 

관련논문

• How to find the Lax pair from the Yang-Baxter equation M. Q. Zhang, 1991
  
• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/

 

 

관련도서

• 도서내검색
  
  • http://books.google.com/books?q=
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