"블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)"의 두 판 사이의 차이

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* 다이로그 함수의 변종으로 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)를 다음과 같이 정의함<br><math>D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_ 2(z))+\log|z|\arg(1-z)</math> , <math>z\in\mathbb{C}</math><br>
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* 대수적 K-이론에서 수체의 K_ 3 군을 실벡터 공간으로 보내는 regulator map을 구성하는데 활용됨<br>
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* 다이로그 함수의 허수부에 대해서는 [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]] 항목 참조
 
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* [[다이로그 함수(dilogarithm)|Dilogarithm 함수]]가 만족시키는 공식을 깔끔하게 함<br><math>\mbox{Li}_ 2(x)</math>,<math>\mbox{Li}_ 2 \left(\frac{1}{1-x}\right)</math>,  <math>\mbox{Li}_ 2 \left(1- \frac{1}{x} \right)</math>, <math>-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right)</math>,<math>-\mbox{Li}_ 2 \left(1-x \right)</math> , <math>-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{x}{x-1} \right)</math><br>
 
* [[다이로그 함수(dilogarithm)|Dilogarithm 함수]]가 만족시키는 공식을 깔끔하게 함<br><math>\mbox{Li}_ 2(x)</math>,<math>\mbox{Li}_ 2 \left(\frac{1}{1-x}\right)</math>,  <math>\mbox{Li}_ 2 \left(1- \frac{1}{x} \right)</math>, <math>-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right)</math>,<math>-\mbox{Li}_ 2 \left(1-x \right)</math> , <math>-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{x}{x-1} \right)</math><br>
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:<math>\operatorname{Cl}_ 2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math><br>
  
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* <math>z=e^{i\theta}</math> 일 때, <math>D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_ 2(z))+\log|z|\arg(1-z)</math> 의 값은 [[클라우센 함수(Clausen function)]]  로 표현<br><math>\operatorname{Cl}_ 2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}</math><br>
 
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* [[데데킨트 제타함수]]<math>s=2</math> 에서의 값을 표현하는데 나타남<br>
 
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* [[복소이차수체의 데데킨트 제테함수]] 의 경우<br>[[데데킨트 제타함수|데데킨트 제타함수]]<br><math>\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})</math><br><math>\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))</math><br>
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* [[복소이차수체의 데데킨트 제테함수]] 의 경우
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:<math>\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})</math>
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:<math>\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))</math><br>
  
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==역사==
 
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==관련된 항목들==
 
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* [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]<br>
 
* [[로바체프스키 함수|로바체프스키와 클라우센 함수]]<br>
 
* [[L-함수의 값 구하기 입문]]<br>
 
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==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
 
==매스매티카 파일 및 계산 리소스==
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxS0U2bjRwSGtqV2M/edit
 
* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxS0U2bjRwSGtqV2M/edit
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=

2013년 1월 7일 (월) 01:36 판

개요

$$\operatorname{Li}_ 2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt$$

이 때, $z\in \mathbb C-[1,\infty)$

  • 다이로그 함수의 변종으로 블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)를 \(z\in\mathbb{C}\)에 대하여 다음과 같이 정의함

\[D(z)=\text{Im}(\operatorname{Li}_ 2(z))+\log|z|\arg(1-z)\] ,

  • 복소평면에서 정의된 실수값을 갖는 연속함수
  • 복소평면의 0과 1을 제외한 모든 점에서 real analytic
  • 대수적 K-이론에서 수체의 K_ 3 군을 실벡터 공간으로 보내는 regulator map을 구성하는데 활용됨
  • 다이로그 함수의 허수부에 대해서는 로바체프스키와 클라우센 함수 항목 참조



그래프와 등고선

  • 복소평면에서 정의된 실수값을 갖는 연속함수

블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)1.gif

  • 다음과 같은 등고선을 얻는다

블로흐-비그너 다이로그(Bloch-Wigner dilogarithm)2.gif


항등식

  • 여러 함수 항등식을 만족함

\[D(z)=D(1-\frac{1}{z})=D(\frac{1}{1-z})=-D(\frac{1}{z})=-D(1-z)=-D(\frac{z}{z-1})\]

$$D(\bar{z})=-D(z)$$
  • Dilogarithm 함수가 만족시키는 공식을 깔끔하게 함
    \(\mbox{Li}_ 2(x)\),\(\mbox{Li}_ 2 \left(\frac{1}{1-x}\right)\), \(\mbox{Li}_ 2 \left(1- \frac{1}{x} \right)\), \(-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1}{x} \right)\),\(-\mbox{Li}_ 2 \left(1-x \right)\) , \(-\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{x}{x-1} \right)\)

five-term relation

  • 가장 중요한 항등식

\[D(x)+D(y)+D\left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+D(1-xy)+D\left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=0\]

\[\mbox{Li}_ 2(x)+\mbox{Li}_ 2(y)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+\mbox{Li}_ 2(1-xy)+\mbox{Li}_ 2 \left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=\frac{\pi^2}{2}-\log(x)\log(1-x)-\log(y)\log(1-y)+\log (\frac{1-x}{1-xy})\log (\frac{1-y}{1-xy})\]


클라우센 함수와의 관계

\[\operatorname{Cl}_ 2(\theta)=-\int_0^{\theta} \ln |2\sin \frac{t}{2}| \,dt=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin (n\theta)}{n^2}\]


데데킨트 제타함수와의 관계

\[\zeta_{K}(2)=\frac{\pi^2}{6\sqrt{|d_K|}}\sum_{(a,d_k)=1} (\frac{d_K}{a})D(e^{2\pi ia/|d_k|})\] \[\zeta_{\mathbb{Q}\sqrt{-7}}(2)=\frac{\pi^2}{3\sqrt{7}}(D(e^{2\pi i/7})+D(e^{4\pi i/7})-D(e^{6\pi i/7}))\]


역사



메모

관련된 항목들



매스매티카 파일 및 계산 리소스






관련논문

  • The Bloch-Wigner-Ramakrishnan polylogarithm function, Don Zagier, Math-Annalen, pages 612\[Dash]624, 1990. http://dx.doi.org/10.1007/BF01453591
  • Polylogarithms, Dedekind Zeta functions, and the algebraic K-theory of fields



관련도서

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