"N차원 구면"의 두 판 사이의 차이
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<math>\begin{array}{ccc} x_1 & = & r \cos (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \\ x_2 & = & r \sin (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \\ x_3 & = & r \cos \left(\phi _1\right) \end{array}</math> | <math>\begin{array}{ccc} x_1 & = & r \cos (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \\ x_2 & = & r \sin (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \\ x_3 & = & r \cos \left(\phi _1\right) \end{array}</math> | ||
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<math>\begin{array}{ccc} x_1 & = & r \cos (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \sin \left(\phi _2\right) \\ x_2 & = & r \sin (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \sin \left(\phi _2\right) \\ x_3 & = & r \sin \left(\phi _2\right) \cos \left(\phi _1\right) \\ x_4 & = & r \cos \left(\phi _2\right) \end{array}</math> | <math>\begin{array}{ccc} x_1 & = & r \cos (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \sin \left(\phi _2\right) \\ x_2 & = & r \sin (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \sin \left(\phi _2\right) \\ x_3 & = & r \sin \left(\phi _2\right) \cos \left(\phi _1\right) \\ x_4 & = & r \cos \left(\phi _2\right) \end{array}</math> | ||
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| − | <math>\begin{array}{ccc} x_1 & = & r \cos (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \sin \left(\phi _2\right) \\ x_2 & = & r \sin (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \sin \left(\phi _2\right) \\ x_3 & = & r \sin \left(\phi _2\right) \cos \left(\phi _1\right) \\ x_4 & = & r \cos \left(\phi _2\right) \end{array}</math> | + | <math>\begin{array}{ccc} x_1 & = & r \cos (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \sin \left(\phi _2\right) \sin \left(\phi _3\right) \\ x_2 & = & r \sin (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \sin \left(\phi _2\right) \sin \left(\phi _3\right) \\ x_3 & = & r \sin \left(\phi _2\right) \sin \left(\phi _3\right) \cos \left(\phi _1\right) \\ x_4 & = & r \sin \left(\phi _3\right) \cos \left(\phi _2\right) \\ x_5 & = & r \cos \left(\phi _3\right) \end{array}</math> |
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| + | 야코비안 <math>r^4 \sin \left(\phi _1\right) \sin ^2\left(\phi _2\right) \sin ^3\left(\phi _3\right)</math> | ||
2012년 8월 26일 (일) 03:41 판
이 항목의 수학노트 원문주소
개요
- 반지름 r인 n-차원 구면(n-sphere)
- (n+1)-차원 유클리드 공간에서 다음 을 만족시키는 점들의 집합 \(x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2= r^2\)
1차원 구면 \(S^1\)
\(\begin{array}{ccc} x_1 & = & r \cos (\theta ) \\ x_2 & = & r \sin (\theta ) \end{array}\)
\(0\leq \theta \leq 2\pi\)
야코비안 \(r\)
2차원 구면 \(S^2\)
\(\begin{array}{ccc} x_1 & = & r \cos (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \\ x_2 & = & r \sin (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \\ x_3 & = & r \cos \left(\phi _1\right) \end{array}\)
야코비안 \(r^2 \sin \left(\phi _1\right)\)
\(0\leq \theta \leq 2\pi\), \(0\leq \phi_1 \leq 2\pi\)
3차원 구면 \(S^3\)
\(\begin{array}{ccc} x_1 & = & r \cos (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \sin \left(\phi _2\right) \\ x_2 & = & r \sin (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \sin \left(\phi _2\right) \\ x_3 & = & r \sin \left(\phi _2\right) \cos \left(\phi _1\right) \\ x_4 & = & r \cos \left(\phi _2\right) \end{array}\)
야코비안 \(r^3 \sin \left(\phi _1\right) \sin ^2\left(\phi _2\right)\)
\(0\leq \theta \leq 2\pi\), \(0\leq \phi_1,\phi_2 \leq 2\pi\)
4차원 구면 \(S^4\)
\(\begin{array}{ccc} x_1 & = & r \cos (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \sin \left(\phi _2\right) \sin \left(\phi _3\right) \\ x_2 & = & r \sin (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \sin \left(\phi _2\right) \sin \left(\phi _3\right) \\ x_3 & = & r \sin \left(\phi _2\right) \sin \left(\phi _3\right) \cos \left(\phi _1\right) \\ x_4 & = & r \sin \left(\phi _3\right) \cos \left(\phi _2\right) \\ x_5 & = & r \cos \left(\phi _3\right) \end{array}\)
야코비안 \(r^4 \sin \left(\phi _1\right) \sin ^2\left(\phi _2\right) \sin ^3\left(\phi _3\right)\)
\(0\leq \theta \leq 2\pi\), \(0\leq \phi_1,\phi_2,\phi_3 \leq 2\pi\)
단위구면의 부피에의 응용
- [[n차원 구면의 매개화|]]
다음의 점화식을 얻을 수 있다
\( \omega_{n}=\omega_{n-1}\left(\int_0^{\pi }\sin ^{n-1} \phi \, d\phi\right)=\omega_{n-1}\frac{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}\)
\(\omega_1=2\pi \)
역사
메모
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
관련된 항목들
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- 발음사전 http://www.forvo.com/search/
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매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxakJjVmNBWHh2VTg/edit
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- Abramowitz and Stegun Handbook of mathematical functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- Numbers, constants and computation
- 매스매티카 파일 목록
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/
- Encyclopaedia of Mathematics
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The World of Mathematical Equations
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