"N차원 구면의 부피(면적)"의 두 판 사이의 차이

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* 반지름 1인 (n-1)-차원 구면의 부피를 <math>\omega_{n-1}</math> 라 두자
 
* 반지름 1인 (n-1)-차원 구면의 부피를 <math>\omega_{n-1}</math> 라 두자
 
* 원점에서의 거리 <math>r=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}</math>에만 의존하는 (적당한) 임의의 함수 <math>f(r)</math> 를 생각하자.
 
* 원점에서의 거리 <math>r=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}</math>에만 의존하는 (적당한) 임의의 함수 <math>f(r)</math> 를 생각하자.
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* <math>I_n=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(r) dx_1\cdots dx_n</math> 라 두면,<br>  <br>  <br>  <br>
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* <math>I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(r) dx_1\cdots dx_n</math> 라 두면, <math>I_n(f)=\omega_{n-1}\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr</math> 이 성립한다. 즉,<br><math>\omega_{n-1}=\frac{I_n(f)}{\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr}</math><br>
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*  임의의 <math>f(r)</math>에 대하여 성립하므로, <math>f(r)=e^{-r^2}</math> 로 두자. 다음을 안다.<br><math>I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }e^{-r^2} dx_1\cdots dx_n = \pi^{n/2}</math> ( [[가우시안 적분]] 항목 참조)<br><math>\int_{0}^{\infty}r^{n-1}e^{-r^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n}{2})</math><br>
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(증명)
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*  따라서 구면의 부피는 다음과 같다<br><math> \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}</math><br>
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<math>\omega_{n}=\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2\leq\ 1} dx_{1}\cdots dx_{n} = \int_{-1}^{1}(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-1}^2\leq\ 1-x_{n}^2} dx_{1}\cdots dx_{n-1})dx_{n}</math>
 
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<math>=\int_{-1}^{1} \omega_{n-1} (1-x_{n}^2)^{\frac{n-1}{2}}dx_{n} =\frac{\sqrt{\pi }\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n}{2}+1\right)} \omega_{n-1}</math>
 
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<math>\omega_{n}=\int\cdots\int_{x_1^2+\cdots+x_n^2 \leq 1} dx_{1}\cdots dx_{n} = \int_{x_{n-1}^2+x_{n}^2 \leq 1}(\int\cdots \int_{x_1^2+\cdots +x_{n-2}^2\leq\ 1-x_{n-1}^2-x_{n}^2} dx_{1}\cdots dx_{n-2})dx_{n-1} dx_{n}</math>
 
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<math>=\int_{x_{n-1}^2+x_{n}^2 \leq 1} \omega_{n-2} (1-x_{n-1}^2-x_{n}^2)^{\frac{n-2}{2}}dx_{n-1}dx_{n} = \frac{2\pi}{n}\omega_{n-2}</math> ■
 
  
 
 
 
 

2012년 8월 15일 (수) 12:11 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요
  • 반지름 r인 (n)차원 구면(n-sphere)이란, (n+1)-차원 유클리드 공간에서 다음 등식을 만족시키는 점들의 집합, 또는 그 평행이동을 말함..
    \(x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2= r^2\)
  • 1차원 구면의 부피(즉 길이)는 \(2\pi r\)
  • 2차원 구면의 부피(즉 넓이)는 \(4\pi r^2\)
  • 반지름이 1로 주어진 (n-1)차원 구면의 부피 \(\omega_{n-1}\)는 얼마가 될까?
    \( \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\)

 

 

공식의 유도
  • 반지름 1인 (n-1)-차원 구면의 부피를 \(\omega_{n-1}\) 라 두자
  • 원점에서의 거리 \(r=\sqrt{x_1^2+\cdots+x_n^2}\)에만 의존하는 (적당한) 임의의 함수 \(f(r)\) 를 생각하자.
  • \(I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(r) dx_1\cdots dx_n\) 라 두면, \(I_n(f)=\omega_{n-1}\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr\) 이 성립한다. 즉,
    \(\omega_{n-1}=\frac{I_n(f)}{\int_{0}^{\infty}f(r)r^{n-1}dr}\)
  • 임의의 \(f(r)\)에 대하여 성립하므로, \(f(r)=e^{-r^2}\) 로 두자. 다음을 안다.
    \(I_n(f)=\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }e^{-r^2} dx_1\cdots dx_n = \pi^{n/2}\) ( 가우시안 적분 항목 참조)
    \(\int_{0}^{\infty}r^{n-1}e^{-r^2}dx=\frac{1}{2}\Gamma(\frac{n}{2})\)
  • 따라서 구면의 부피는 다음과 같다
    \( \omega_{n-1}=\frac{2\pi^{n/2}}{\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}\)

 

 

 

반지름 1인 n-차원 공의 부피로 주어진 수열

\(2,\pi ,\frac{4 \pi }{3},\frac{\pi ^2}{2},\frac{8 \pi ^2}{15},\frac{\pi ^3}{6},\frac{16 \pi ^3}{105},\frac{\pi ^4}{24},\frac{32 \pi ^4}{945},\frac{\pi ^5}{120}, \cdots\)

 

 

 

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