"고전역학에서의 적분가능 모형"의 두 판 사이의 차이
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* 위치 변수 <math>q=(q_ 1,\cdots,q_N)</math><br> | * 위치 변수 <math>q=(q_ 1,\cdots,q_N)</math><br> | ||
* 운동량 변수 <math>p=(p_ 1,\cdots,p_N)</math><br> | * 운동량 변수 <math>p=(p_ 1,\cdots,p_N)</math><br> | ||
− | * 운동방정식 | + | * 운동방정식:<math>\dot{q}_i=\partial H/\partial p_i</math>:<math>\dot{p}_i=-\partial H/\partial q_i</math><br> |
* N개의 독립인 보존량(또는 제1적분) <math>L_ 1(x),\cdots,L_N(x)</math>이 필요하다 | * N개의 독립인 보존량(또는 제1적분) <math>L_ 1(x),\cdots,L_N(x)</math>이 필요하다 | ||
− | * 포아송 괄호 | + | * 포아송 괄호:<math>f(p_i,q_i,t), g(p_i,q_i,t)</math>:<math>\{f,g\} = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right]</math><br> |
* L과 H의 포아송 괄호 <math>\{L_i,H\}</math><br> | * L과 H의 포아송 괄호 <math>\{L_i,H\}</math><br> | ||
− | * 보존량들은 다음의 포아송 괄호 관계를 만족시켜야 한다 | + | * 보존량들은 다음의 포아송 괄호 관계를 만족시켜야 한다:<math>\{L_i,H\}=0</math>:<math>\{L_i,L_j\}=0</math><br> |
* action-angle 변수<br> | * action-angle 변수<br> | ||
** 새로운 변수action 변수 <math>I</math>, angle 변수 <math>{\theta}</math> 를 도입하여, 해밀토니안을 새로운 변수들의 함수로 고려 <math>H(I,\theta)</math><br> | ** 새로운 변수action 변수 <math>I</math>, angle 변수 <math>{\theta}</math> 를 도입하여, 해밀토니안을 새로운 변수들의 함수로 고려 <math>H(I,\theta)</math><br> | ||
− | ** 다음 조건을 만족시켜야 한다 | + | ** 다음 조건을 만족시켜야 한다:<math>\dot{\theta}=\partial H/\partial I=\omega</math>, <math>\partial H/\partial \theta=0</math><br> |
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==자유낙하하는 물체== | ==자유낙하하는 물체== | ||
− | * 해밀토니안 | + | * 해밀토니안:<math>H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+mgq</math><br> g는 중력가속도. m은 입자의 질량<br> |
− | * 해밀턴 방정식 | + | * 해밀턴 방정식:<math>\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}</math>:<math>\dot{p}=-\partial H/\partial q=-mg</math><br> |
− | * 운동방정식 | + | * 운동방정식:<math>\ddot{q}=-g</math><br> |
* 보존량<math>E=L_ 1(q,p)=H(q,p)</math>은 에너지 | * 보존량<math>E=L_ 1(q,p)=H(q,p)</math>은 에너지 | ||
** <math>\dot{E}=\frac{p\dot{p}}{m}+mg\dot{q}=\frac{p(-mg)}{m}+mg\frac{p}{m}=0</math> | ** <math>\dot{E}=\frac{p\dot{p}}{m}+mg\dot{q}=\frac{p(-mg)}{m}+mg\frac{p}{m}=0</math> | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A1%B0%ED%99%94%EC%A7%84%EB%8F%99%EC%\9E%90 | * http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A1%B0%ED%99%94%EC%A7%84%EB%8F%99%EC%\9E%90 | ||
* 질량 m, 각속도 <math>\omega</math> 인 조화진동자<br> | * 질량 m, 각속도 <math>\omega</math> 인 조화진동자<br> | ||
− | * 해밀토니안 | + | * 해밀토니안:<math>H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega^{2}q^2</math><br> |
− | * 해밀턴 방정식 | + | * 해밀턴 방정식:<math>\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}</math>:<math>\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q</math><br> |
− | * 운동방정식 | + | * 운동방정식:<math>\ddot{q}=-\omega^{2} q</math> 즉 <math>\ddot{q}+\omega^{2} q=0</math><br> |
* 보존량 <math>L_ 1(q,p)=H(q,p)</math> | * 보존량 <math>L_ 1(q,p)=H(q,p)</math> | ||
* action-angle 변수 http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Action-Angle_Variables<br> action 변수 <math>I</math>, <math>H=\omega I</math> 따라서 <math>\partial H/\partial I=\omega</math><br> angle 변수 <math>{\theta}</math>, <math>\dot{\theta}=\omega</math> 따라서 <math>\theta = \omega t+\theta_0</math><br> | * action-angle 변수 http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Action-Angle_Variables<br> action 변수 <math>I</math>, <math>H=\omega I</math> 따라서 <math>\partial H/\partial I=\omega</math><br> angle 변수 <math>{\theta}</math>, <math>\dot{\theta}=\omega</math> 따라서 <math>\theta = \omega t+\theta_0</math><br> | ||
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==단진자== | ==단진자== | ||
− | * 해밀토니안 | + | * 해밀토니안:<math>H(p_{\theta},\theta)=\frac{p_ {\theta}^2}{2ml^2}-mgl\cos\theta</math><br> |
− | * 해밀턴 방정식 | + | * 해밀턴 방정식:<math>\dot{\theta}=\partial H/\partial p_{\theta}=\frac{p_{\theta}}{ml^2}</math>:<math>\dot{p_{\theta}}=-\partial H/\partial \theta=mgl\sin\theta</math><br> |
− | * 운동방정식 | + | * 운동방정식:<math>\frac{d^2 \theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\sin\theta=0</math><br> |
− | * 보존량 | + | * 보존량:<math>\frac{H(p_{\theta},\theta)}{ml^2}</math><br> |
* action-angle 변수 http://www.maths.uq.edu.au/courses/MATH4104/m4104sec4.pdf<br> | * action-angle 변수 http://www.maths.uq.edu.au/courses/MATH4104/m4104sec4.pdf<br> | ||
* http://www.fas.org/sgp/othergov/doe/lanl/pubs/00285896.pdf<br> | * http://www.fas.org/sgp/othergov/doe/lanl/pubs/00285896.pdf<br> |
2013년 1월 12일 (토) 10:12 판
적분가능 모형
- 고전/양자 역학에서의 적분가능 모형은 교환법칙을 만족시키는 적분들 또는 보존량의 존재를 특징으로 함
- 자유도가 N으로 주어진 계
- 해밀토니안 \(H(q,p)\)
- 위치 변수 \(q=(q_ 1,\cdots,q_N)\)
- 운동량 변수 \(p=(p_ 1,\cdots,p_N)\)
- 운동방정식\[\dot{q}_i=\partial H/\partial p_i\]\[\dot{p}_i=-\partial H/\partial q_i\]
- N개의 독립인 보존량(또는 제1적분) \(L_ 1(x),\cdots,L_N(x)\)이 필요하다
- 포아송 괄호\[f(p_i,q_i,t), g(p_i,q_i,t)\]\[\{f,g\} = \sum_{i=1}^{N} \left[ \frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}} \right]\]
- L과 H의 포아송 괄호 \(\{L_i,H\}\)
- 보존량들은 다음의 포아송 괄호 관계를 만족시켜야 한다\[\{L_i,H\}=0\]\[\{L_i,L_j\}=0\]
- action-angle 변수
- 새로운 변수action 변수 \(I\), angle 변수 \({\theta}\) 를 도입하여, 해밀토니안을 새로운 변수들의 함수로 고려 \(H(I,\theta)\)
- 다음 조건을 만족시켜야 한다\[\dot{\theta}=\partial H/\partial I=\omega\], \(\partial H/\partial \theta=0\)
- 새로운 변수action 변수 \(I\), angle 변수 \({\theta}\) 를 도입하여, 해밀토니안을 새로운 변수들의 함수로 고려 \(H(I,\theta)\)
자유낙하하는 물체
- 해밀토니안\[H(q,p)=\frac{p^2}{2m}+mgq\]
g는 중력가속도. m은 입자의 질량 - 해밀턴 방정식\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\]\[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-mg\]
- 운동방정식\[\ddot{q}=-g\]
- 보존량\(E=L_ 1(q,p)=H(q,p)\)은 에너지
- \(\dot{E}=\frac{p\dot{p}}{m}+mg\dot{q}=\frac{p(-mg)}{m}+mg\frac{p}{m}=0\)
단순조화진동자(simple harmonic oscillator)
- http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%A1%B0%ED%99%94%EC%A7%84%EB%8F%99%EC%\9E%90
- 질량 m, 각속도 \(\omega\) 인 조화진동자
- 해밀토니안\[H(p,q)=\frac{p^2}{2m}+\frac{m}{2}\omega^{2}q^2\]
- 해밀턴 방정식\[\dot{q}=\partial H/\partial p=\frac{p}{m}\]\[\dot{p}=-\partial H/\partial q=-m\omega^{2}q\]
- 운동방정식\[\ddot{q}=-\omega^{2} q\] 즉 \(\ddot{q}+\omega^{2} q=0\)
- 보존량 \(L_ 1(q,p)=H(q,p)\)
- action-angle 변수 http://tabitha.phas.ubc.ca/wiki/index.php/Action-Angle_Variables
action 변수 \(I\), \(H=\omega I\) 따라서 \(\partial H/\partial I=\omega\)
angle 변수 \({\theta}\), \(\dot{\theta}=\omega\) 따라서 \(\theta = \omega t+\theta_0\)
단진자
- 해밀토니안\[H(p_{\theta},\theta)=\frac{p_ {\theta}^2}{2ml^2}-mgl\cos\theta\]
- 해밀턴 방정식\[\dot{\theta}=\partial H/\partial p_{\theta}=\frac{p_{\theta}}{ml^2}\]\[\dot{p_{\theta}}=-\partial H/\partial \theta=mgl\sin\theta\]
- 운동방정식\[\frac{d^2 \theta}{dt^2}+\frac{g}{l}\sin\theta=0\]
- 보존량\[\frac{H(p_{\theta},\theta)}{ml^2}\]
- action-angle 변수 http://www.maths.uq.edu.au/courses/MATH4104/m4104sec4.pdf
- http://www.fas.org/sgp/othergov/doe/lanl/pubs/00285896.pdf
the an-harmonic oscillator in 2 dim
이체 문제 (two-body problem)
geodesic motion on an ellipsoid
헤논-헤일스 방정식 (Hénon-Heiles Equation)[1]
링크
- http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange,_Euler _and _Kovalevskaya _tops
- Mircea PUTA and Constantin VOICU, Old and New Aspects in the Lagrange Top Dynamics http://www.esi.ac.at/preprints/esi1363.ps
- A. Lesfari, "Completely integrable systems: Jacobi's heritage," Journal of Geometry and Physics 31, no. 4 (October 1999): 265-286. http://dx.doi.org/10.1016/S0393-0440(99)00015-7
메모
- The 2 body problem (Kepler problem, Coulomb problem)
- the simple pendulum
- the double pendulum
- the free rigid body
- the rigid body with a fixed point(= tops - Euler top, Lagrange top,Kovaleskaya top)
- the harmonic oscillator
- the an-harmonic oscillator in 2 dim
- the motion of a particle in a central potential
- the motion on a sphere with a harmonic potential
- the geodesic motion on an ellipsoid (Jacobi\[CloseCurlyQuote]s geodesic flow on an ellipsoid)
- the geodesic motion on a surface of revolution
- the geodesic motion on a torus
- the geodesic motion on a quartic
- the geodesic motion on SO(3)
- the Moser system
- the Calogero-Sutherland systems
- the Calogero-Moser systems
- the Toda lattices (periodic, non-periodic, non-abelian)
- the Clebsh rigid body in an ideal fluid,
- the n-dimensional rigid body
- the Garnier system
- the Gaudin systems
- KdV equation