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** (n+1)-차원 유클리드 공간에서 다음 을 만족시키는 점들의 집합 <math>x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2= r^2</math>
 
** (n+1)-차원 유클리드 공간에서 다음 을 만족시키는 점들의 집합 <math>x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2= r^2</math>
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야코비안 <math>r^4 \sin \left(\phi _1\right) \sin ^2\left(\phi _2\right) \sin ^3\left(\phi _3\right)</math>
 
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==단위구면의 부피에의 응용==
 
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* [[n차원 구면의 매개화|n차원 구면의 매개화]]<br> 다음의 점화식을 얻을 수 있다:<math> \omega_{n}=\omega_{n-1}\left(\int_0^{\pi }\sin ^{n-1} \phi \, d\phi\right)=\omega_{n-1}\frac{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}</math>:<math>\omega_1=2\pi </math><br>
  
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==역사==
 
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==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
 
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2013년 1월 14일 (월) 14:20 판

개요

  • 반지름 r인 n-차원 구면(n-sphere)
    • (n+1)-차원 유클리드 공간에서 다음 을 만족시키는 점들의 집합 \(x_1^2+\cdots+x_{n+1}^2= r^2\)

 

1차원 구면 \(S^1\)

\(\begin{array}{ccc} x_1 & = & r \cos (\theta ) \\ x_2 & = & r \sin (\theta ) \end{array}\) \(0\leq \theta \leq 2\pi\)

야코비안 \(r\)

 

 

2차원 구면 \(S^2\)

\(\begin{array}{ccc} x_1 & = & r \cos (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \\ x_2 & = & r \sin (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \\ x_3 & = & r \cos \left(\phi _1\right) \end{array}\) 야코비안 \(r^2 \sin \left(\phi _1\right)\) \(0\leq \theta \leq 2\pi\), \(0\leq \phi_1 \leq 2\pi\)

 

3차원 구면 \(S^3\)

\(\begin{array}{ccc} x_1 & = & r \cos (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \sin \left(\phi _2\right) \\ x_2 & = & r \sin (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \sin \left(\phi _2\right) \\ x_3 & = & r \sin \left(\phi _2\right) \cos \left(\phi _1\right) \\ x_4 & = & r \cos \left(\phi _2\right) \end{array}\) 야코비안 \(r^3 \sin \left(\phi _1\right) \sin ^2\left(\phi _2\right)\) \(0\leq \theta \leq 2\pi\), \(0\leq \phi_1,\phi_2 \leq 2\pi\)

 

4차원 구면 \(S^4\)

\(\begin{array}{ccc} x_1 & = & r \cos (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \sin \left(\phi _2\right) \sin \left(\phi _3\right) \\ x_2 & = & r \sin (\theta ) \sin \left(\phi _1\right) \sin \left(\phi _2\right) \sin \left(\phi _3\right) \\ x_3 & = & r \sin \left(\phi _2\right) \sin \left(\phi _3\right) \cos \left(\phi _1\right) \\ x_4 & = & r \sin \left(\phi _3\right) \cos \left(\phi _2\right) \\ x_5 & = & r \cos \left(\phi _3\right) \end{array}\) 야코비안 \(r^4 \sin \left(\phi _1\right) \sin ^2\left(\phi _2\right) \sin ^3\left(\phi _3\right)\) \(0\leq \theta \leq 2\pi\), \(0\leq \phi_1,\phi_2,\phi_3 \leq 2\pi\)  

 

단위구면의 부피에의 응용

  • n차원 구면의 매개화
    다음의 점화식을 얻을 수 있다\[ \omega_{n}=\omega_{n-1}\left(\int_0^{\pi }\sin ^{n-1} \phi \, d\phi\right)=\omega_{n-1}\frac{\sqrt{\pi } \Gamma \left(\frac{n}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}\]\[\omega_1=2\pi \]


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