"쌍곡함수"의 두 판 사이의 차이

2013년 1월 14일 (월) 18:33 판

지수함수 를 사용하여 정의할 수 있다\[\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\]\[\cosh x = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}\]\[\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac {\frac{1}{2}(e^x - e^{-x})} {\frac{1}{2}(e^x + e^{-x})} = \frac{e^{2x} - 1} {e^{2x} + 1}\]\[\operatorname{sech}\,x = \frac{1}{\cosh x} = \frac {2} {e^x + e^{-x}}\]

\((\sinh x)' = \frac{e^x + e^{-x}}{2}=\cosh x\)

\((\cosh x)' = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}=\sinh x\)

\((\tanh x)' = \frac{\cosh^2 x- \sinh^2 x}{\cosh^2 x}=\operatorname{sech}^{2}x\)

\(\cosh \left(\theta _1\right) \cosh \left(\theta _2\right)-\sinh \left(\theta _1\right) \sinh \left(\theta _2\right)=\cosh \left(\theta _1-\theta _2\right)\)

\(B_n\)은 베르누이수, \(E_n\)은 오일러수
쌍곡함수의 멱급수 표현은 다음과 같다\[\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}\]\[\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi\]\[\operatorname {sech}\, x = 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!}\]

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-* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
+* [[수학사 연표]]
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