비정상 확산

확산(diffusion; 퍼짐)은 자연현상을 이해하는데 중요한 개념이고 또한 많이 연구되어 잘 알려졌다고 합니다. 저도 잘 알고 있다고 생각했는데 확산의 정의가 뭐냐고 물으면 어떻게 말해야 간단명료할지 잘 모르겠네요. 모여 있다가 퍼진다? 섞인다? 제멋대로 움직인다? 각자 제멋대로 움직이지만 전체적으로 흩어지는 모양이다?

여튼 확산을 기술하는 일반화된 랑제방 방정식에서 시작하겠습니다.

\(m\frac{dv(t)}{dt}=-m\int_0^t\Gamma(t-t')v(t')dt'+F(t)\)

m은 입자의 질량, v는 입자의 속도이고 F는 랜덤한 힘이며, Γ는 기억(memory)입니다. 시각 t의 입자의 운동에 시각 t'에서의 속도가 영향을 끼치게 해주는 거니까요.