"바일 지표 공식 (Weyl character formula)"의 두 판 사이의 차이

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* <math>V=L(\lambda)</math> 이면, 캐릭터는 다음과 같이 정의된다
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\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in \mathfrak{h}^{*}} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}
 
\chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in \mathfrak{h}^{*}} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'}

2013년 2월 9일 (토) 13:31 판

개요

  • \(V=L(\lambda)\) 이면, 캐릭터는 다음과 같이 정의된다

$$ \chi_{\lambda}=\sum_{\lambda' \in \mathfrak{h}^{*}} (\dim{V_{\lambda'}})e^{\lambda'} $$ 여기서 $V_{\lambda'}$는 $V$의 weight space

  • 바일의 공식

\[\chi_{\lambda}=ch(V)=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho}) }{e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}=\frac{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\lambda+\rho})}{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho})}\]

  • 또다른 표현\[\chi_\lambda=\frac{A_{\lambda+\rho}}{A_{\rho}}\] 여기서

\[A_{\mu}=\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)} e^{w \mu}\in \mathbb{C}[P]\]

  • denominator identity\[{\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{\rho}) = e^{\rho}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-\alpha})}\]

기호

  • P : weight lattice
  • W : Weyl group

함수로 이해하기

  • \(e^{\lambda}\in \mathbb{Z}[P]\)
  • \(\mathfrak{h}\)에 정의된 함수로 생각하면, \(x\mapsto e^{2\pi i \langle \lambda,x \rangle}\)
  • \(\mathfrak{h}^{*}\)에 정의된 함수로 생각하면, \(\mu \mapsto e^{2\pi i (\lambda|\mu)}\)
  • 예
    • \(\mu\in \mathfrak{h}^{*}\) 에 대하여, \(A_{\rho}(\mu)=\prod_{\alpha>0}(2i)\sin \pi(\mu|\alpha)\)
    • \({\sum_{w\in W} (-1)^{\ell(w)}w(e^{2\pi i(\rho,v)}) = e^{2\pi i(\rho,v)}\prod_{\alpha>0}(1-e^{-2\pi i(\alpha,v)})}\)


바일 차원 공식(Weyl dimension formula)

\[\operatorname{dim}(L(\lambda))=\prod_{\alpha>0}\frac{(\lambda+\rho|\alpha)}{(\rho|\alpha)}\]


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