"베일리 쌍(Bailey pair)과 베일리 보조정리"의 두 판 사이의 차이

2013년 2월 13일 (수) 01:22 판

다음을 만족시키는 두 수열\(\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}\)을 a에 대한 베일리 쌍이라 부른다\[\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}\]
켤레 베일리 쌍 \(\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}\)\[\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}\frac{\delta_r}{(q)_{r-L}(aq)_{r+L}}=\sum_{r=0}^{\infty}\frac{\delta_{r+L}}{(q)_{r}(aq)_{r+2L}}\]
베일리 쌍을 얻기 위해 합공식의 q-analogue 들의 특별한 경우들을 많이 이용함

베일리 쌍을 이용하여 로저스-라마누잔 항등식 과 같은 q-series 항등식을 증명할 수 있음
- 베일리 보조정리를 이용하는 경우
- 베일리 쌍의 정의로부터\[\beta_L=\sum_{r=0}^{L}\frac{\alpha_r}{(q)_{L-r}(aq)_{L+r}}\]

베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍 (relative to 1)\[\alpha_{n}=(-1)^{n}q^{\frac{3}{2}n^2}(q^{\frac{1}{2}n}+q^{-\frac{1}{2}n})\]\[\beta_n=\frac{1}{(q)_{n}}\]\[\delta_n=q^{n^2}\]\[\gamma_n=\frac{q^{n^2}}{(q)_{\infty}}\]
아래의 베일리 보조 정리를 이용하여, 로저스-라마누잔 항등식 을 증명할 수 있다\[\sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{n^2}}{ (q)_{n}}=\frac{(q^{3};q^{5})_{\infty}(q^{2};q^{5})_{\infty}(q^{5};q^{5})_{\infty}}{(q)_{\infty}}=\frac{1}{(q^{1};q^{5})_{\infty}(q^{4};q^{5})_{\infty}}\]

베일릴 보조 정리는 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍에 대한 항등식이다
네 수열\(\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}\), \(\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}\) 이\[\beta_L=\sum_{r=0}^{L}{\alpha_r}{u_{L-r}v_{L+r}}, \gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}{\delta_r}{u_{r-L}v_{r+L}}\]
이 조건을 만족시키면 다음이 성립한다

\[\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}\]

다음과 같이 u,v 를 선택한다\[u_{n}=\frac{1}{(q)_n}\] ,\(v_{n}=\frac{1}{(x)_n}\), 여기서 \(x=aq\)

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 *  베일릴 보조 정리는 베일리 쌍과 켤레 베일리 쌍에 대한 항등식이다<br>
-*  네 수열<math>\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}</math>, <math>\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}</math> 이:<math>\beta_L=\sum_{r=0}^{L}{\alpha_r}{u_{L-r}v_{L+r}}</math>,  <math>\gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}{\delta_r}{u_{r-L}v_{r+L}}</math><br> 이 조건을 만족시키면 다음이 성립한다:<math>\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}</math><br>
+*  네 수열<math>\{\alpha_r\}, \{\beta_r\}</math>, <math>\{\delta_r\}, \{\gamma_r\}</math> 이:<math>\beta_L=\sum_{r=0}^{L}{\alpha_r}{u_{L-r}v_{L+r}}, \gamma_L=\sum_{r=L}^{\infty}{\delta_r}{u_{r-L}v_{r+L}}</math><br> 이 조건을 만족시키면 다음이 성립한다
+:<math>\sum_{n=0}^{\infty}\alpha_n\gamma_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}\beta_n\delta_{n}</math><br>
 *  다음과 같이 u,v 를 선택한다:<math>u_{n}=\frac{1}{(q)_n}</math> ,<math>v_{n}=\frac{1}{(x)_n}</math>, 여기서 <math>x=aq</math><br>