이차형식 x^2+27y^2

개요

• \(\mathcal{O}=\mathbb{Z}(\sqrt{-27})\subset K=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})\)
• ring class field \(K(\sqrt[3]{2})=\mathbb{Q}(\sqrt{-3},\sqrt[3]{2})\)

소수가 \(x^2+27y^2\) 꼴로 쓰여질 필요충분조건

• \(p>3\) 이 소수라 하자. 다음 조건은 동치이다
  
  • \(p=x^2+27y^2\)
    
  • \(p\equiv 1\pmod 3\) 이고, \(x^3-2\equiv0\pmod p\) 가 해를 갖는다
    
  • \(p\equiv 1\pmod 3\) 이고, 2가 \(\mod p\)로 cubic residue 이다
    

\(x^3\equiv 2\pmod p\) 의 해의 개수

• 3 \(p\equiv 1\pmod 3\) 이고 \(p=x^2+27y^2\)형태로 쓸 수 있는 경우
  
• 2 불가능
  
• 1 \(p \not\equiv1 \pmod 3\) 인 경우
  
• 0 \(p\equiv 1\pmod 3\) 이고 \(p=x^2+27y^2\)형태로 쓸 수 없는 경우
  

역사

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=
• 수학사 연표

메모

• Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

관련된 항목들

• 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)