"평행이동과 홀로노미"의 두 판 사이의 차이
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| + | * 곡선 $\gamma$가 위선(latitude)즉, $\alpha(t)=(u(t),v(t))=(t,v_0)$로 주어지는 경우를 생각하자 | ||
| + | * 벡터장 $Y=Y^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}$이 $\gamma$를 따라 평행일 조건은, [[공변미분(covariant derivative)]]이 0, 즉 | ||
| + | :<math>\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^2\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}=0</math> | ||
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* http://archive.ncsa.illinois.edu/Classes/MATH198/whubbard/GRUMC/geometryExplorer/help/noneuclid/holonomy.html<br> | * http://archive.ncsa.illinois.edu/Classes/MATH198/whubbard/GRUMC/geometryExplorer/help/noneuclid/holonomy.html<br> | ||
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2013년 4월 2일 (화) 01:27 판
개요
예
- 구면이 $\{R \cos (u) \cos (v),R \sin (u) \cos (v),R \sin (v)\}$ 로 매개화되었다고 하자
- $x^1=u, x^2=v$로 두면,
$$ \begin{array}{l} \frac{\partial}{\partial x^{1}} &=& \left(-R \sin (u) \cos (v),R \cos (u) \cos (v),0\right) \\ \frac{\partial}{\partial x^{2}} &=& \left(-R \cos (u) \sin (v),-R \sin (u) \sin (v),R \cos (v)\right) \end{array} $$
- 곡선 $\gamma$가 위선(latitude)즉, $\alpha(t)=(u(t),v(t))=(t,v_0)$로 주어지는 경우를 생각하자
- 벡터장 $Y=Y^{i}\frac{\partial}{\partial x^{i}}$이 $\gamma$를 따라 평행일 조건은, 공변미분(covariant derivative)이 0, 즉
\[\frac{DY}{dt}= \sum_{i=1}^2\left(\frac{dY^{i}}{dt}+\Gamma_{jk}^i Y^{j}\frac{dx^{k}}{dt} \right)\frac{\partial}{\partial x^{i}}=0\] 로 주어진다. 이를 다시 쓰면, 다음과 같은 미분방정식을 얻는다 $$ \begin{array}{l} Y_1'(t)-Y_2(t) \tan \left(v_0\right)&=&0 \\ Y_1(t) \sin \left(v_0\right) \cos \left(v_0\right)+Y_2'(t)&=&0 \end{array} $$
역사
메모
- holonomy = negative of angle defect = area x Gaussian curvature
- http://www.math.ubc.ca/~cass/courses/m308-03b/projects-03b/gukov/project.html
- http://archive.ncsa.illinois.edu/Classes/MATH198/whubbard/GRUMC/geometryExplorer/help/noneuclid/holonomy.html
- http://www.ias.ac.in/resonance/August2008/p706-715.pdf
관련된 항목들
수학용어번역
- holonomy - 대한수학회 수학용어집
리뷰논문, 에세이, 강의노트
- Oprea, John. 1995. “Geometry and the Foucault Pendulum.” The American Mathematical Monthly 102 (6) (June 1): 515–522. doi:10.2307/2974765.